第4章 稳定性和李雅普诺夫方法2.ppt

令 这时有 推论： 对于线性定常系统 ，若矩阵A非奇异，且矩阵 为负定，则系统的平衡状态 是大范围渐近稳定的，因为 变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的李雅普诺夫函数 ，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么，这个李雅普诺夫函数 的梯度： 必定存在且唯一。于是 对时间的导数可表达为： （16） 4.5.2 变量梯度法 变量梯度法也叫舒茨一基布逊(Shultz—Gibson)法，这是他们在1962年提出的一种寻求李雅普诺夫函数较为实用的方法。 或写成向量矩阵的形式 舒茨和基布森指出，先假定 为某一形式，如 再根据 为负定（半负定）的要求确定待定系数 再将 做线积分得到V(x) 若 旋度为零，则该曲线积分与积分路径无关。 旋度方程 总 结 李雅普诺夫稳定性概念 李雅普诺夫稳定性判据 第一方法 线性系统 系统矩阵特征值的位置 非线性系统 第二方法（从能量观点分析） 构造李雅普诺夫函数 ，由 的符号判断 确定P的方法 定常系统 时变系统 非线性系统 本章完 作业：P186 4-7 4-8 4-11 * * * * * * * * * * * * * 4.2 李雅普诺夫第一法 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论 1) 是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且对t应具有连续的一阶偏导数。 2)对于一个给定系统，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。 3) 的最简单形式是二次型函数： 4)如果 为二次型，且可表示为： 6)由于构造 函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。 5) 函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。 （12） 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据 定理：设线性定常连续系统为： 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：A 的特征根均具有负实部。 （1） 命题1： 的所有特征根具有负实部，等价于存在实对称矩阵P，使得 。 结论：任意给定实对称Q0，若存在实对称P0， 满足李雅普诺夫方程 ， 则可取 为李雅普诺夫函数。 （2） 应用： 1）先选取一个正定矩阵Q 2）代入李雅普诺夫方程 ，解出P 3）希尔维斯特判据判定P的正定性 4）判断系统的稳定性 a）常取Q=I 若 沿任一轨迹不恒等于0，那么Q可取为半正定 上述判据是充要条件 (1)设 调节参数 使 极小。 (2) 必须渐近稳定，否则问题无解。 (3)由 知存在 ,使得 令 于是有 由 ,知 利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题 问题描述 ： (4)注意到 和 的函数，调节 使 最小。 例 给定系统的状态方程为 试确定阻尼比 的值，使系统的性能指标 ，其中 达到最小值。 解得 于是有 解: 由 ，知 再令 于是得 将 代入上式，知 。 4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为： （2） 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵 ，必存在一个连续对称正定矩阵 ，满足： 而系统的李雅普诺夫函数为： （3） （4） 即 （5） 式中 由稳定性判据可知，当 为正定对称矩阵时，若 也是一个正定对称矩阵，则