CP080-计算物理常微分方程解.ppt

常微分方程的数值解法 绪论 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。 常微分方程描写的物理现象 镭的衰变规律 单摆的运动 RLC振荡电路 物理场计算 常微分方程 常微分方程数值解基本思想 8.1 Euler方法 8.1 Euler方法 function main global E R C; E=10;R=10;C=0.01; Q0=E/C; h=0.01; t=[0:h:1]; QE(1)=Q0; QEG(1)=Q0; for i=2:length(t) QE(i)=QE(i-1)+h*f(QE(i-1));%欧拉法 k1=h*f(QEG(i-1));%改进欧拉法 k2=h*f(QEG(i-1)+k1); QEG(i)=QEG(i-1)+1/2*(k1+k2); end plot(t,QE,r);%欧拉法的曲线 hold on plot(t,QEG,b);%改进欧拉法的曲线 plot(t,Q0*exp(-1*t./(R*C)),‘.’);%理论曲线 legend(欧拉法的曲线,改进欧拉法的曲线, 理论曲线) function y=f(x) global E R C; y=-1*x./(R*C); function main %欧拉法：二阶常微分方程 global E R C L; E=10;R=100;C=0.01;L=10; Q0=0;I0=0;h=0.01;t=[0:h:10]; Q(1)=Q0; I(1)=I0; for i=2:length(t) Q(i)=Q(i-1)+h*I(i-1);%Q I(i)=I(i-1)+h*f(Q(i-1),I(i-1));%I end plot(t,Q,r,t,I,m);%欧拉法的曲线 function y=f(Q,I) global E R C L; y=(E-Q/C-I*R)/L; （用改进的Euler法解）： 8.3 龙格-库塔（R-K）方法 思想：取多点处斜率的加权平均为平均斜率，从而减小误差。 四阶公式： 例：用R-K方法解例题8.1.1 function main %龙格库塔：一阶常微分方程 global E R C; E=10;R=10;C=0.01;h=0.01;t=[0:h:1];Q(1)=E/C; for i=2:length(t) k1=h*f(Q(i-1)); k2=h*f(Q(i-1)+k1/2); k3=h*f(Q(i-1)+k2/2); k4=h*f(Q(i-1)+k3); Q(i)=Q(i-1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end plot(t,Q,‘b’);hold on%龙格库塔方法的曲线 plot(t,Q(1)*exp(-1*t./(R*C)),.);%理论曲线 function y=f(x) global E R C; y=-1*x./(R*C); 例：用R-K方法解例题8.1.2 function main %龙格库塔：二阶常微分方程 global E R C L; E=10;R=100;C=0.01;L=10; Q0=0;I0=0;h=0.01;t=[0:h:10];Q(1)=Q0;I(1)=I0; for i=2:length(t) k1=h*I(i-1); m1=h*f(Q(i-1),I(i-1)); k2=h*(I(i-1)+m1/2); m2=h*f(Q(i-1)+k1/2,I(i-1)+m1/2); k3=h*(I(i-1)+m2/2); m3=h*f(Q(i-1)+k2/2,I(i-1)+m2/2); k4=h*(I(i-1)+m3); m4=h*f(Q(i-1)+k3,I(i-1)+m3); Q(i)=Q(i-1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); I(i)=I(i-1)+1/6*(m1+2*m2+2*m3+m4); end plot(t,Q,r,t,I,m);%龙格库塔的曲线 function y=f(Q,I) global E R C L; y=(E-Q/C-I*R)/L; 练习： 分别用Euler法、改进Euler法和四阶R-K法求解阻尼振动方程： 已知质量m=10,倔强系数k=10,阻尼系数c=2,初始速