条件为ab+bc+ca=1的一类不等式的证明.pdf

12 中 等 数 学 条件为 6+6c+ca=1的一类不等式的证明 张 宏 (广东省工业贸易职业技术学校，528237) 当遇到含有条件 如 +6c+ca=1的不等 ~／0+n+~／b+b+~／c+c≥2、／／ 式时，如果不等式的项中含有类似于 a+1 (2008，伊朗队选拔考试) 的项，则可以尝试用 +6c+ca去代替其中 证 明：注意到 的1，然后分解因式，有利于进一步分析问 a +a=a(0 +1) 题、解决问题 ． =a(a +n6+6c+ca) 例 1 设 a、b、C0。且 +6c+ca=1． =a(a+b)(a+c)． 求证：乒擘+ + ≥ ．① 于是，原不等式等价于 、／a +l √b +1 、／C +1 证明：因为 Ⅱ6+6c+ca=1，所 以， b +c2 b +c ≥2~／(a+b+C)(ab+6c+ca) 一 、 ~／_ 甘∑o+2∑[ · 2(b+C) 一 √b(b+c)(b+a)]一 2、 I一 3 (0b+0b)一9abc10． ① ≥ ‰ = 又[a(a+b)(a+c)][b(b+c)(b+0)] 【『(b+c) ．2a+b+c1 n b c = (a+ac+a2b+n6c)(ab+bc+b+ ) 芝 _ +———厂 J— 一 一 ≥(a2b+06c+ +abc) ≥(6+c)一号一鲁一寺=3b+3c—a． = (0b+ +2abc)， 故式①左边 故式①左边 ≥∑0+2∑(0b+ab+2abc)一 ： ∑ ≥∑(+萼一号) 3 (0b+ab)一9abc = = 3∑6+3∑c—1∑。 ∑o一∑(0b+ab)+3abc．