概率论与数理统计4-1-zh.pdf

第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 一、数学期望的定义 1. 引例（射击问题） 设某射击手在同样的条件下， 瞄准靶子相继射击90次，射中次数记录如下 命中环数k 0 1 2 3 4 5 命中次数nk 2 13 15 10 20 30 求该射手射击一次平均命中环数? 命中的环数X 是一个随机变量. 命中环数k 0 1 2 3 4 5 命中次数 nk 2 13 15 10 20 30 n 频率 k 2 13 15 10 20 30 n 90 90 90 90 90 90 射中靶的总环数 解：平均命中环数 射击次数 0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 5 30 90 5 2 13 15 10 20 30 nk 0 90 1 90 2 90 3 90 4 90  5 90  k  n . k 0 设随机变量X 表示命中的环数，则 5 n n  5 平均射中环数  k  k  k  P (X k ). k 0 n k 0 2.定义 设离散型随机变量X 的分布律为 P(X=x ) = p , k=1,2,… k k  若级数 x p 绝对收敛，  k k k 1  则称级数 x p 的和为随机变量X 的数学期望，  k k k 1  记为E (X ), 即E (X ) x p . k k k 1 反例1 设随机变量X 的分布律为  k 1 3k  2 P X (1)  k , k 1,2, ,  k  3