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方差分析 方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。在工农业生产和科学研究中，经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。这时需要用到方差分析。利用方差分析，我们能推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。 方差分析包括了：单因素方差分析和双因素方差分析。 利用Matlab作方差分析 例1（单因素方差分析）一位教师想要检查3种不同的教学方法的效果，为此随机地选取水平相当的15位学生。把他们分为3组，每组5人，每一组用一种方法教学，一段时间以后，这位教师给15位学生进行统考，成绩见下表1。问这3种教学方法的效果有没有显著差异。 表1 学生统考成绩表 方法 成绩 甲 75 62 71 58 73 乙 71 85 68 92 90 丙 73 79 60 75 81 Matlab中可用函数anova1(…)函数进行单因子方差分析。 调用格式：p=anova1(X) 含义：比较样本 m×n的矩阵X中两列或多列数据的均值。其中，每一列表示一个具有m个相互独立测量的独立样本。 返回：它返回X中所有样本取自同一总体的零假设（所考虑的因素之间没有差异）成立的概率p。 解释：若p值接近0（接近程度有解释这自己设定），则认为所考虑的因素之间是存在显著差异。 Matlab程序： Score=[75 62 71 58 73；81 85 68 92 90；73 79 60 75 81]’； P=anova1(Score) 输出结果：方差分析表和箱形图 ANOVA Table Source SS df MS F ProbF Columns 604.9333 2 302.4667 4.2561 0.040088 Error 852.8 12 71.0667 Total 1457.7333 14 由于p值小于0.05，零假设不成立，认为3种教学方法存在显著差异。 例2（双因素方差分析）为了考察4种不同燃料与3种不同型号的推进器对火箭射程（单位：海里）的影响，做了12次试验，得数据如表2所示。 表2 燃料-推进器-射程数据表 推进器1 推进器2 推进器3 燃料1 58.2 56.2 65.3 燃料2 49.1 54.1 51.6 燃料3 60.1 70.9 39.2 燃料4 75.8 58.2 48.7 在Matlab中利用函数 anova2函数进行双因素方差分析。 调用格式：p=anova2(X,reps) 含义：比较样本X中两列或两列以上和两行或两行以上数据的均值。不同列的数据代表因素A的变化，不同行的数据代表因素B的变化。若在每个行-列匹配点上有一个以上的观测量，则可用参数reps来指示每个单元中观测量的个数。 返回：当 reps=1（默认值）时，anova2将两个p值返回到向量p中。 当reps1时，anova2还返回第三个p值： 解释：如果任意一个p值接近于0，则认为相关的零假设不成立。 Matlab程序： disp1=[58.2 56.2 65.3；49.1 54.1 51.6；60.1 70.9 39.2；75.8 58.2 48.7]’； p=anova2(disp1,1) 输出结果：方差分析表 ANOVA Table Source SS df MS F ProbF Columns 157.59 3 52.53 0.43059 0.73875 Rows 223.8467 2 111.9233 0.91743 0.44912 Error 731.98 6 12 1.9967 Total 1113.4167 11 由于燃料和推进器对应的p值均大于0.05，所以可以认为燃料和推进器对火箭的射程没有显著影响。 例3（双因素方差分析）设火箭的射程在其它条件基本相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配各发射了火箭两次，得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的射程有显著影响？ 表3 燃料-推进器-射程数据表 推进器1 推进器2 推进器3 燃料1 58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.8 燃料2 49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4 燃料3 60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.7 燃料4 75.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4 Matlab程序： disp2=[58.2 52.6 49.1 42.8