第6章离散傅氏变换.ppt

Chapter 6 Discrete Fourier Transforms 本章导航 6.1 傅氏变换的四种形式 6.2 周期序列的傅氏变换：离散傅氏级数展开 6.3 离散傅氏级数的性质 6.4 有限长序列的傅氏变换：离散傅氏变换 6.5 离散傅氏变换的性质 6.6 对DTFT的采样 6.7 用DFT对连续时间信号逼近的讨论 §6.1 傅氏变换的四种形式6.1 Four Fourier Transforms 1.连续时间、连续频率的傅氏变换 2.时间连续、频率离散的傅氏变换 3.时间离散、频率连续的傅氏变换 4.离散时间、离散频率的傅氏变换 §6.2 周期序列的离散傅氏级数6.2 Discrete Fourier Series of Periodic  Sequence 1.周期序列的特性 与连续时间周期信号一样，周期序列可以表示成离散傅氏级数，该级数可以由具有谐波性质的复指数序列来表示，这些周期复指数的形式为 一组N个周期复指数e0(n)，e1(n)，e2(n)，…，eN?1(n) 可以确定所有其它的周期复指数，其频率是(2?/N) 的整数倍。这样，一个周期序列x?(n)的傅氏级数表示 只包含N个复指数，故它具有如下形式 对式(6-15)的两边均乘以 ，并且从n=0 到 n=N?1求和，那么可以得到 [例 6-1] 求周期脉冲串的DFS系数及傅氏级数展开，即 对所有的k值，X?(k)=1，于是由式(6-21)得到 解：x?(n)是周期为N =10的周期序列，所以DFS系数为 §6.3离散傅氏级数的性质6.3 The Properties of Discrete Fourier Series 考虑两个周期序列x?1(n)与x?2(n)，其周期均为N，即 1.线性性 2.序列移位 3.对偶性 4.周期卷积 由于DFS和IDFS的对称性，可以证明，时域周期序 列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。 即，如果 §6.4 离散傅立叶变换6.4 The Discrete Fourier Transform 把x(n)看成周期为N的周期序列x?(n)的一个周期内的样本，那么x?(n)就是x(n)以N为周期的周期延拓，即 [例 6-3] 设x?(n)是周期为N＝11的序列，求n＝26， n＝-5两数对N的余数。 x?(n)=x((n))N ? x(n)＝x?(n)RN(n) (6-31) X?(k)＝X((k))N (6-32) X(k)＝X?(k)RN(k) (6-33) 从式(6-20)与式(6-21)的DFS及IDFS的表达式看出，求和是只限定在0?n?N-1及0?k?N-1的主值区间进行，所以完全适用于主值序列x(n)与X(k)，这样，我们可以得到有限长序列的离散傅氏变换定义 §6.5 离散傅氏变换的性质6.5 The Properties of DFT 下面讨论的序列都是长度为N的序列，并假设 1.线性性 如果两个有限长序列为x1(n)和x2(n)，那么 2.对偶性 与DFS的对偶性相类似，DFT的对偶性为：若 3.对称性 若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性 4.共轭对称性 周期序列x?(n)的共轭对称分量x?e(n)及共轭反对称分量x?o(n)分别为 x?e(n) = 1/2[x?(n)+x?*(-n)] =1/2 [x((n))N+x*((N-n))N] (6-42) x?o(n) = 1/2 [x?(n)-x?*(-n)] = 1/2 [x((n))N-x*((N-n))N] (6-43) 设DFT[x(n)]＝DFT{Re[x(n)]+jIm[x(n)]}，则有 DFT{Re[x(n)]}=Xep(k) =1/2 [X((k))N +X*((N-k))N]RN(k)