第三章离散傅氏变换.ppt

离散傅氏变换（DFT：Discrete Fourier Transform） 即DFT就是将离散信号的傅氏变换再离散化 为导出DFT，先讨论周期序列的离散傅氏级数（DFS： Discrete Fourier Series） §3.1 离散傅氏级数和离散傅氏变换 一、周期序列的离散傅氏级数 设xa(t)是一有限时宽信号，时宽为Tm，其频谱也是经过限带处理的Xa(Ω)，其最高频率为Ωm。如图: 定量分析： 时域抽样间隔Ts，使连续量t变为离散量nTs。设T1=NTs，则以T1为周期的时域连续函数 即连续变量Ω变为离散量k Ω1（ Ωs=N Ω1） 以Ωs为周期的频域连续函数 二、离散傅氏变换（DFT）的导出 模的概念：用(n)N 表示（n模N） 数学上就是n对N取余，令n=n1+mN，则有 (n)N =n1 设x(n)是个长度为N的序列，即在0≤n≤N-1区间内，有非零值 §3.2 DFS与DFT的性质 证明： 序列的线性卷积与周期卷积之间的几点区别 ⑴ 线性卷积对参与卷积的两序列无要求； 周期卷积要求卷积两序列是周期相同的。 ⑵ 线性卷积求和范围由两序列长度和所在区间决定； 周期卷积求和范围是一个周期。 ⑶ 线性卷积得到的序列长度由两序列决定； 周期卷积的结果仍是周期序列。 对于周期DFS有：时域相乘，频域卷积（周期） 频域相乘，时域卷积（周期） 5、对称性 共轭对称和共轭反对称概念对周期序列也适用。 二、DFT性质 §3.3 Z变换和离散傅氏变换的关系 Z变换与DFT(或DFS)的关系是取样和内插的关系。 一、已知序列的傅氏变换就是单位圆上的Z变换。 离散傅氏变换是对序列傅氏变换的离散化， 即对单位圆Z变换的离散化。 那么DFT是其Z变换在单位圆上的采样。 二、X(z)可由X(k)通过一个内插式精确的恢复 §3.4 循环卷积及其应用（DFT重要性质之一） 一、循环卷积（圆周卷积） 1、设x1(n)与x2(n)是两个长度为N的有限长序列， 则循环卷积y(n)为 2、性质 3、计算方法： ⑴作图法：同周期卷积，然后取主值区间序列值。 ⑵同心圆法： 例3-4-1设x1(n)={1,2,3,4,5}，x2(n)={6,7,8,9}，计算5点循环卷积 解：x2(n)为4点，在其尾部填零使其成为5点序列， x2(n)={6,7,8,9,0} ⑶矩阵法（类似序列排列法） 利用循环移位特性 例3-4-2设x1(n)={ 1 , 2 , 3 } x2(n)={ 4 , 5 }，计算3点循环卷积 二、循环卷积的应用 1、用循环卷积求线性卷积 设x(n)是长度为K点的有限长序列，h(n)是长度为M的有限长序列。则二者线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) 的长度为N=M+K-1。 若将x(n)与h(n)均补零，使其增长为N点序列，再进行N点循环卷积 2、长序列的分段卷积 ?⑴重叠相加法 设h(n)的长度为M，x(n)是长序列，将x(n)分为L段，每段长度为N，将每段分别与h(n)进行线性卷积，然后将结果重叠相加。 ⑵重叠保留法 设h(n)长度为M，x(n)是长序列，将x(n)分为L段，每段长度K 将第一段前面补零，使其长度为M+K-1点，其余各段前面M-1个点均保留 x(n)对应的值，长度亦为M+K-1点； 分段进行M+K-1点循环卷积，舍去每段前M-1个值，相加； 例3-4-5：已知输入 x(n) 和单位冲激响应 h(n)，如图 §3.5 用DFT求线性卷积 小结：傅氏变换的四种形式 1、连续时间、连续频率 —— 模拟傅氏变换 一连续时间非周期信号x(t) 正变换 2、连续时间、离散频率 —— 傅氏级数 一周期为T1的连续时间信号x(t) 正变换 3、离散时间、连续频率 —— 序列傅氏变换 正变换 4、离散时间、离散频率 —— 离散傅氏变换 正变换 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 两种方法结果相同 注意：重叠保留法的要点 舍去相加 y(n)=x(n)*h(n) x(n) LTI系统h(n) 若 则 设 利用DFT来减化计算工作量 循环卷积yN(n)在一定条件下等于有限长序列的线性卷积。 因此 yN(n) = y(n) = x(n)*h(n) yN(n) = IDFT[X(k)H(k)] H(k) X(k) N点DFT N点DFT h(n) x(n) 长度K 长度M N点IDFT y(n) 条件N≥K+M-1 X(