2017年江苏数学3.2利用导数研究函数的极值与最值(测)(解析版).doc

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ (满分100分，测试时间50分钟) 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1.函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________. 资*源%库【答案】－ 【解析】f′(x)＝x2＋2x－3， 令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)， 又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－， 故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－. 2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于________.【答案】18 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有_______个 【答案】2 【解析】依题意，记函数y＝f′(x)的图像与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当axx1时，f′(x)0；当x1xx2时，f′(x)0；当x2xx4时，f′(x)≥0；当x4xb时，f′(x)0.因此，函数f(x)分别在x＝x1、x＝x4处取得极大值 4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________. 【答案】－13 5.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________． 【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞) 【解析】f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)0.所以m6或m－3.6.济宁模拟】已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，abc，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论： ①f(0)f(1)0；②f(0)f(1)0； ③f(0)f(3)0；④f(0)f(3)0. 其中正确结论的序号是________．【答案】②③ 【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)·(x－3)， 由f′(x)0，得1x3，由f′(x)0，得x1或x3， ∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又abc，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0， ∴y极大值＝f(1)＝4－abc0， y极小值＝f(3)＝－abc0. ∴0abc4. ∴a，b，c均大于零，或者a0，b0，c0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立， ∴f(0)0.∴f(0)f(1)0，f(0)f(3)0.∴正确结论的序号是②③. .函数为自然对数的底数）的值域是实数集R，则实数的取值范围是________. $来源：【答案】 .若函数在上有最小值，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为，令，所以 ，所以函数在，上单调递增；在上单调递减，要函数在上有最小值，所以，解得，故实数的取值范围是．.已知函数 ，如果当时，不等式恒成立，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】不等式即为 记 所以 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 .已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是________. 【答案】 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。． 11.若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 资*源%库 【答案】(1) a＝0，b＝－3. (2) g(x)的极值点为－2. 【解析】(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0， f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 资*源%库 当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2 12．【的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ