24.1.3弧、弦、圆心角.ppt

在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将∠AOB旋转一定角度，使OA和O′A′重合． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． * * * * * * * * * 24.1.3弧、弦、圆周角 ☆复习引入 1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的? 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线。垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的。 2、绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”。圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。 回顾旧知 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦． O A B C D E F 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 圆弧（弧） O A B 半圆 顶点在圆心的角． · O B A 观察下列各角有什么共同特点？ · O B A · O B A · O B A · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。 ⌒ 圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）． 弦心距 · O B A ┓ C · O B A ┓ C 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ① ② ③ ④ 任意给圆心角，对应出现四个量： 圆心角 弧 弦 · O B A 疑问：这四个量之间会有什么关系呢？ 弦心距 C 探究 你能发现哪些等量关系? · O A B B′ ┓ C ┓ C′ A′ 根据旋转的性质，∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合． 而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′， ∴点 A与 A′重合，B与B′重合． 分析 再根据△AOB≌△A′O′B′， OC=OC′ ∴　　　　　重合，AB与A′B′重合． · O A B B′ ┓ C ┓ C′ A′ ●O A B ┓ C A′ B′ C′ ┏ ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ⌒　 ⌒ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 知识要点 弧、弦、圆心角的关系定理（圆心角定理） 思考 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ⌒　 ⌒ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 两个圆心角相等 两条弧相等 两条弦相等 两条弦心距相等 这四组关系分别轮换，其它关系是否成立? 在同圆或等圆中 · O A B A′ B′ ┓ C ┓ C′ 弧、弦、圆心角关系定理的推论 ②AB=A′B′ ⌒　 ⌒ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ ①∠AOB=∠A′O′B′ 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 弧、弦、圆心角关系定理的推论 ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ⌒　 ⌒ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等． ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ⌒　 ⌒ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′ 弧、弦、圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，有一组关系相等，那么所对应的其它各组关系均分别相等． O α A B A1 B1 α 同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦、两条弦心距中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 等对等定理 1、四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距 2、四个相等关系： (1) 圆心角相等 (2) 弧相等 (3) 弦相等 知一得三 （4）弦心距 O α B A1 B1 α 证明： ∵AB=AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形　　 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC 例1 如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,　　　　 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O B C A 1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD，那么 ，