24.2.2直线与圆的位置关系切线长定理1.ppt

* * * * 港中数学网 24.2.2 直线和圆的位置关系（三） 切线长定理 复习引入 切线的判定定理 切线的性质定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 圆的切线垂直于过切点的半径 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定义 O B P · · A · 切线长和切线的区别和联系: (2)切线是一条与圆相切的直线 (1)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长 · 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B。沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？ 数学探究 P A O B · · 证明：连接OA,OB ∵PA，PB是⊙O的两条切线 ∴OA⊥PA，OB⊥PB ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 已知：如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点。 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． P A O B 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 O B P · · A · ∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB 几何语言： · 数学探究 O B P · · A · 思考：若连结两切点A、B，AB交OP于点E。 OP与AB有什么关系?并给出证明. E · OP垂直平分AB 证明： ∵PA，PB是⊙O的切线, ∴PA = PB，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形， PE为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB 1、如图③，AB、AC是⊙O 的两条切线，B、C为切点， 若AB=5，则AC= . ③ 练一练 ④ 2、如图④，PA切⊙O于A， PB切⊙O于B，OP交⊙O于C， 下列结论中，错误的是（　 ） A．∠1=∠2 B．PA=PB C．AB⊥OP D．PA=PO 5 D PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP与AB交于C。 B A P O C （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 已知：△ABC 求作：⊙O，使⊙O与△ABC的三条边相切 作法： 1、作∠B、∠C的角 平分线，两线交于点O； 2、过点O作BC的垂线交BC于E； 3、以点O为圆心，OE为半径作圆. ∴⊙O是与△ABC的三条边相切的圆. E 思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下 一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切? O C B A 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。 数学探究 D E F 三角形内心性质： ． o 三角形外接圆 三角形内切圆 ． o A A B B C C 外接圆圆心： 三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径： 交点到三角形任意一个顶点的距离。 内切圆圆心： 三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径： 交点到三角形任意一边的垂直距离。 F E O D B C A 解：设AF=x，则 AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x, 由CD+BD=BC,可得 13-x+9-x=14， 解得x=4， ∴AF=4，BD=9，CE=5 例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。 练一练 1.如图，△ABC中，∠ABC=50o，∠ACB=75o， 点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. 2.课本P100 T2 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小结： ∵PA、PB是⊙O的两条切线 ∴PA =PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 B A P O C 1. 切线长定理 2.如何作三角形的内切圆？