混沌理论及应用.ppt

今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！ 后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。 逻辑斯蒂映射的形式为 以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。 分形几何的基本思想 欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体： 一维空间：线段，有长度，没有宽度； 二维空间：平行四边形，有周长、面积； 三维空间：球，表面积、体积； 自然界中很多的物体具有特征长度，诸如：人有高度、山有海拔高度等。 有一类问题却比较特别，Mandelbrot就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？ 当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。 如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。 得到的结论是：海岸线的长度是多少：决定与尺子的长短。 海岸线的长度是无限的！ 而显然海岸线的面积为零； 而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。 海岸线什么有界？（长度、面积、体积显然无界）。 Koch 曲线 自然界中的分形 ——Shannon 混沌与密码学的关系 ——混沌与密码学的关系 一、函数迭代 给定一函数 以及初始点 ，定义 数列 称为函数 的迭代序列。 满足 的点 称为 的不动点，记之为 。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点。如果所有附近的 点都远离它，则它是排斥点。 例如，0 与 1 是 的不动点。0 是 吸引点，1是排斥点。 如果 则点集 形成一个 k 循环。 称为 k 周期点。k称为周期。 二、二次函数的迭代 对二次函数 做迭代: 迭代的几何直观图 不动点的计算 从　　 得到 及 三、Feigenbaum图 将区间（0, 4] 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为 Feigenbaum图。 四、混沌的特性 对初值的敏感性 练习 9 任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过 0.1, 在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01, 0.001, 0.0001 结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？ 五、其它函数的迭代 锯齿函数 练习 11 锯齿函数的迭代对初值是否敏感？ 找出锯齿函数的周期点。 六、听一听混沌 练习 13 选取初值 （如 ），由迭代 产生迭代序列 ，根据 的大小 确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序 列。 作业 类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点 最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点。如 1 是 的预周期点。 迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函数 有关， 而且与初值的选择有关。 例如，对于迭代 当初值 时， 迭代序列收敛，否则 发散。 练