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深圳大学数学与计算科学学院 张文俊 10. 方圆合一，自然规律—— 、 ?、e的联手 正态曲线描述了自然与社会中的大量现象。比如， 自然生长的各种动植物的高度、重量、体积的分布； 人类的身高、体重、血压……以至一些非数量性的指标如智力、心理素质等； 10. 方圆合一，自然规律—— 、 ?、e的联手 凭直觉截取某一计划长度的绳子时实际截取结果的分布等。 10. 方圆合一，自然规律—— 、 ?、e的联手 在高考中，不能根据原始分数判定学习质量。必须找到一个不变的测量参照点和一个对同批考生参加所有的考试都保持等值的测量单位。标准分可以解决这个问题。 采用标准分的依据就是，考试分数呈正态分布状态。 10. 方圆合一，自然规律—— 、 ?、e的联手 按照标准分： 考分介于400和600之间的人占68.26%； 考分超过800和抵于200的人总共占0.27%，其中超过800的人占0.135%。 第三节五个重要常数 0，1与虚数单位 i ? 0，1与虚数单位i ?? 1. 数字0 （1）几何：坐标原点，正、负数的分界点； （2）代数：加法的零元； （3）丰富的含义：0°C，起点，0！=1，a0=1， 0没有辐角，0没有对数 0，1与虚数单位i 2. 数字1 （1）整数单位， 在加法下，一切自然数均由1生成； 在乘法下，1是哑元。 0，1与虚数单位i （2）“1”的各种表现 0，1与虚数单位i （3）关于“1”的猜想---谷角猜想 一切自然数都可以借助“2”、“3”，经过加、减、乘、除回归为“1”。 法则：偶数÷2 奇数×3+1； 循环进行。 3. 虚数单位 i 圆周率? 1 问?之源——圆的来历 圆的来历： 6000年前，在尼罗河三角洲1000公里处的美索不达米亚平原的人们，受圆月启发，发明了轮子。 2 问?之源——什么是圆周率？ 圆周率——圆的周长与圆的直径之比； 1737年瑞士数学家欧拉引入记号?； 1761年德国数学家Lambert证明?是无理数； 1882年德国数学家Lindman证明?是超越数——即它不是任何整系数多项式的根。 2 问?之源——什么是圆周率？ 2 问?之源——什么是圆周率？ 3 求?之法 （1）实验、测量 时间：公元前5世纪之前； 地点：古代中国、古埃及、古巴比伦； 数值：3 3 求?之法 （2）“两面夹攻” (内接、外切正多边形) 时间：公元前250年左右； 地点：希腊； 人物：Archimedes； 数值： 223/71 ? 22/7 3 求?之法 （3）“割圆术” 时间：3世纪中； 地点：中国； 人物：刘徽； 数值：3.14124 割圆术细解 先作一个半径为1 的单位圆； 割圆术细解 3 求?之法 （4） “缀术” 时间：5世纪中期； 地点：中国； 人物：祖冲之； 数值：准确到7位小数 3 求?之法 （5）代数表达式（16世纪末，35位小数） （6）微积分方法（18世纪以后：超过5亿位小数）。 4 表?之道 1592年,法国数学家韦达利用半角公式给出了 ? 的如下无穷乘积表达： 4 表?之道 1655年,英国数学家瓦里斯在以极小长方形近似计算1/4圆面积时利用二项式定理给出? 的如下无穷乘积表达： 4 表?之道 1658年，布龙科尔给出了4/? 的如下连分数表达 4 表?之道 1674年，德国数学家莱布尼茨利用反正切级数给出了? 的如下无穷级数表达： 4 表?之道 牛顿的表达式： 4 表?之道 欧拉的表达： 4 表?之道 1706 年，英国数学家梅钦建立了 3 表?之道 5 捉?之术 (1) 概率方法： 投针问题： 5 捉?之术 在一张白纸上画上间距为2的许多平行线，将长度为1的小针一枚一枚地从高处随意投到纸上。 5 捉?之术 5 捉?之术 5 捉?之术 5 捉?之术 (2)数论方法： 1904年,R.查特根据数论中的结论指出： 随意写两个自然数，两数互质的概率为 6 算?之路 远古：中国、埃及 测量，周三径一 （《周髀算经》） 公元前2000年：巴比伦，3， 公元前5世纪：希腊，3.1416 6 算?之路 公元前250年左右：希腊，（Archimedes）“两面夹攻”（内接、外切正多边形），得到 3.14084507042≈ 223/71 ? 22/7 ≈3.1428571428… 6 算?之路 公元1世纪初： 中国 刘歆 ? ≈ 3.154 公元1世纪末： 中国 张衡