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34 中 等 数 学 再品佳题 ( ) 1993 圣彼得堡数学奥林匹克 初中 苏 　淳 　　译 ( 中国科学技术大学统计与金融系, 230026) 中添加石子, 所添加的石子粒数必须等于此 第 一 轮 时其余两堆中的石子粒数之和; 也可以在能 6 . 1. 梦幻国的田野中生长着一种结金币 够做到时, 从其中任何一堆中取出石子, 取出 的树, 各棵树上结的金币枚数可能不同. 每一 的石子粒数等于此时其余两堆石子中的石子 夜每棵树上结出一枚新的金币. 3 月 1 日时, ( 粒数之和 例如, 若在三堆石子中分别有 4 、7 一共结有 1 000 枚金币. 在 3 月中的某一天, 和 12 粒石子, 则可以往 4 粒石子的堆中添加 某人又种下了一棵这种树, 到了 3 月 31 日, 7 + 12 = 19 粒石子; 也可以自 12 粒石子的堆 所有树上结的金币共有 1 993 枚. 问:某人是 中取出 4 + 7 = 11 粒石子) . 现设三堆石子中 在哪一天种的树 ? 请说明理由. 原来分别有 1 993 、199 和 18 粒石子. 问: 能 6 . 2 . 试将 5 ×5 的方格纸分成 7 个不同 否通过若干次操作, 使得其中一堆变空 ? 的矩形, 要求保持方格完整. 8. 1. 同7. 2 . 6 . 3 . 在正整数 1 , 2 , …, 1 992 中, 下列两 8. 2 . 在四边形 AB CD 中, E 、F 分别是 类中哪一类整数较多 ? 边B C 、DC 的中点, 线段 A F 、A E 分别与对 ( ) 1 能被 8 整除但不能被 9 整除的整数; 角线BD 相交于点 K 、M . 现知 D K = KM = ( ) 2 能被 9 整除但不能被 8 整除的整数. MB . 证明 : 四边形 AB CD 是平行四边形. 6 . 4 . 有一个 36 位数, 在它的各位数字 8. 3 . 设 6 ×6 的正方形被分为 9 个边长 中, 数码 1 , 2 , …, 9 各出现 4 次, 且除了 9 以 为整数的矩形. 证明 :其中有 2 个矩形全等. 外, 其余各位数字都小于它后面的一位数字. 8. 4 . 至少求出方程[ x 2 ] - [ x ] 2 = 1 993 已知该数的第一位数字是 9. 问:该数的最后 的一个解, 并验证之. 其中[ A ] 表示不超过 A 一位数字是什么 ? 请给出所有可能的答案, 5 并证明再无其他答案. 的最大整数 例如, - 2 = - 3 , [ 2 ] = 1 . 7 . 1. 同6. 2 . 第 二 轮 7 . 2 . 甲、乙两人