曲线积分与路径无关的条件(北工大).ppt

* * 四、格林公式 定理　设闭区域 D 由分段光滑的曲线　 围成， 函数 　　　与　　 　在上具有一阶连续偏　　　　 导数，则有 格林公式 其中　 是D 的取正向的边界曲线．　 例　计算 其中曲线 是由1)直线　　　　2)抛物线 3)立方抛物线　　　　都是由原点 到点 被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果不同. 例 被积函数相同，起点和终点也相同，虽然路径不同但是积分结果相同. 解 x y o L y x o 应用格林公式，得 (2) 当　　　　 时，作位于D内圆周 记 由　和　所围成． 五、曲线积分与路径无关的条件 定理　若函数 , 以及 在单连通区域G连续，下列四个断语是等价的： 与路线C无关， 1.曲线积分 即只与始点A与终点B有关； 2.在G中存在一个函数 ,使 4.对G内的任意光滑闭曲线 。 3. 例 计算　　　 其中 是 的上半圆周,顺时针方向为正. 例 验证下列积分与路径无关,并求他们的值. 沿在右半平面的路线; 沿不通过原点的路线; 例 计算 ? 其中AO是从点 ⌒ 的上半圆周 到点 定理５　若在单连通区域G内函数 是 的原函数，而 与　　　　 是G内任意两点，则　　 证明: 在G内任取连接点A到点B的光滑曲线 且 曲线积分 又已知　　　是　　　　　的原函数，有 则