Y=aX上式两边取对数后,得lnY=lna+blnX.PDF

第九章 非线性回归(Nonlinear regression)  在医学科学研究中，常遇见 X和 Y 的数量关系不是线性的情况，如毒物 剂量与动物死亡率，人的生长曲线，血药浓度­时间曲线等，都不是线性的。 如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误的结论。这时可以用非 线性回归或曲线拟合方法进行分析。 一、常用的非线性函数：  1. 幂函数（Power function）：  b  Y aX  上式两边取对数后，得 lnY lna+blnX  2. 对数函数（Logarithmic function）：  Y a+blnX  3. 指数函数（Exponential function）：  bX  Y ae  aexp （bX） 对上式两边取对数，得：lnY lna+bX 4. Logistic函数（logistic function）:  1  Y =  1 + ae bx  È Y  ˘ 上式可转换成线性形式： ln  = - ln a - bX  Í 1 - Y ˙ Î ˚ [ ]  当ln Y /( 1 - Y ) 和 X 的散点图呈直线趋势时，可考虑用 Logistic 函数描 述 Y 和 X 的非线性关系。  5. 多项式函数（polynomial function）：  2  p  Y a+bX+bX +…+bX  1 2 p 如抛物线是二次多项式。 注意各种曲线的特征，但在实践中常常是根据生物学机制理论决定曲线 种类。 二、非线性回归曲线的拟合：  (一)利用线性转换后再作线性回归拟合： 前面介绍的常用的曲线函数都可以通过数学转换，使之成为线性函数。 最简单的曲线拟合就利用了这一性质作线性拟合。 基本步骤如下：  1. 以 Y 和 X绘制散点图，决定曲线类型。  2. 通过数学转换将曲线转换成直线方程。  3. 线性回归方程的参数估计、计算确定系数和作回归方程的方差分析。  4. 转换为原方程，绘制曲线图。 例 9.1：X为 IgA(μg)，Y 为火箭高度(mm)。 (1)从 Y 和 X 的散点图估计可能是对数曲线，将 X 取对数后，散点图呈 直线趋势。  ˆ  (2)估计线性方程Y  a+blnX，得 a 19.745, b 7.777。 ˆ  回归方程为：Y  19.745+7.777lnX  (3)方差分析有统计学意义 ，表 明回归方程有贡献 。计算确定系数  2  R  0.9922，表明回归拟合原资料很好。 3  例 9.2  X为时间（日），Y 为肿瘤体积（cm ）。  (1)从 Y 和 X 的散点图估计可能是指数曲线，将 Y 取对数后，散点图呈 直线趋势。  (2)估计线性方程  ˆ  ，得 a －4.275, b 0.156。 ln Y = a + bX  回归方程为：  ˆ  ln Y = －4 . 275 + 0 . 156 X  (3)方差分析有统计学意义 ，表 明回归方程有贡献 。计算确定系数  2  R  0.9517，表明回归拟合原资料较好。  (4)将方程还原： ˆ