3-3向量空间.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 下页 铃 结束 返回 首页 二、向量空间的基和维数 一、向量空间的概念 §3.3 向量空间 三、基变换与过渡矩阵 例1 设 P 是立体空间中的一个平面, O 是 P 上一定点, 用 V 表示起点在点 O 的 P 上所有向量的集合. 集合 V 中的向量具有如下性质： (1) 若 a?V, b?V, 则 a +b?V; (2) 若 a?V, k∈R, 则 ka?V, 称 V 为一个平面向量空间. 设 V 中两向量 a1, a2 线性无 关, 即 a1, a2 不是共线向量, 称向量空间 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间. 一、向量空间的概念 则有 例2 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集为 S, 系数 矩阵 A 的秩 R(A) = r n. 性质1 若 x?S, h?S, 则 x +h?S. 性质2 若 x?S, k?R, 则 kx?S. 称解集 S 为一个向量空间(解空间). 称解空间 S 为由向量组 x1,…,xn-r 生成的向量空间. 设 x1,…,xn-r 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系, 则有 向量空间 设 Rn 的非空子集 V 满足条件： (1) 若 a?V, b?V, 则 a +b?V; (2) 若 a?V, k?R, 则 ka?V, 那么称 V 为一个向量空间. 当非空集 V 满足条件(1),(2)时, 称 V 对线性运算封闭. 向量空间必含零向量. {0}是一个向量空间, 称零空间. Rn 本身是一个向量空间. 子空间 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 ? V2, 就称 V1 是 V2 的子空间. 而当 V1 ? V2 时, 称 V1 是 V2 的真子空间. (II) A 组可由B 组线性表示的充要条件是 生成空间 设有向量组 A: a1,…, am, 则 L(A)是一个向量空间. 称 L(A)为由向量组 A 生成的 向量空间, 简称生成空间. 称 a1,…, am 为生成元. 记 设有向量组 A: a1,…, as , B: b1,…, bt . (1) L(A) 为 L(B) 的子空间的充分必要条件是 A 组可由 B 组线性表示； (2) L(A) = L(B) 的充分必要条件是 A 组与 B 组等价. 提示: (I) 对任意向量空间V, 例3 由 a1=(1,1,0,0)T, a2=(1,0,1,1)T 所生成的空间记为 V1, 而由 b1=(2,-1,3,3)T, b2=(0,1,-1,-1)T 所生成的空间 记为 V2. 试证 V1 = V2. 解 求得 由此, 又可得 因此 a1, a2 与 b1, b2 等价, 从而 V1 = V2. 称向量空间 V 的任一最大无关组为 V 的一个基. 二、向量空间的基和维数 向量空间的基和维数 称向量空间 V 的秩为 V 的维数, 记为 dim V. 基的性质 设 V 为一个向量空间, 则 V 中向量组 a1,…, ar 为 V 的一个基的充分必要条件是 (2) V 中任一向量可由 a1,…, ar 线性表示. (1) a1,…, ar 线性无关; 设 V 是一个 r 维向量空间, 则 V 中任意 r 个线性无关 向量 a1,…, ar 为 V 的一个基, 且有 n 元方程组 Ax = 0 的基础解系为解空间 S 的一个基, dim S = n-R(A). 单位坐标向量组为 Rn 的一个基, dim Rn = n. 立体空间中的平面向量空间是 2 维向量空间, 的任意两个不共线向量为一个基. 平面中 向量在基下的坐标 设 a1,…, ar 是向量空间 V 的一个基, 则 V 中任一 向量 a 可唯一地表示为 称 (k1,…, kr) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标. 解 例4 验证 a1= (1,-1,0)T, a2= (0,1,3)T, a3= (2,1,8)T 为R3 的一个基, 并求 b1= (5,0,12)T, b2= (9,-7,8)T, b3= (3,1,11)T 在这个基下的坐标. a1, a2, a3 线性无关, b1, b2, b3 在基 a1, a2, a3 下的坐标分别为 可知 R(a1, a2, a3)=3, 即有 为 R3 的一个基. 三、基变换与过渡矩阵 设 a1,…, ar 及 b1,…, br 是向量空间 V 的两个基, 基变换 称此关系式为基变换公式.