3-【课时作业】3-立体几何中的向量方法(二).doc

课时作业　立体几何中的向量方法(二) 一、选择题 1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150° 2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 3．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间的距离为(　　) A. B. C．3 D. 4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果BPM＝BPN＝45°，MPN＝60°，那么二面角α—AB—β的大小为(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° 6．如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　) A. B. C. D. 7．已知在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是(　　) A. B. C. D. 8．空间四边形OABC中，OB＝OC，AOB＝AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A. B. C．－ D．0 二、填空题 9．在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离等于________． 10如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE＝________. 11．已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD且GC＝2，则点B到平面EFG的距离是________． 12如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，则直线AC1与侧面AB1所成的角的大小是________． 三、解答题 13.如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点． (1)证明：PEBC； (2)若APB＝ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． 14如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点． (1)求证：EF平面PAB； (2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的大小． 15.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝AB，点E，M分别为A1B，C1C的中点，过A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. (1)求证：EM平面A1B1C1D1； (2)求二面角B—A1N—B1的正切值． 16．在四棱锥S—ABCD中，DAB＝ABC＝90°，侧棱SA底面ABCD，SA＝AB＝BC＝a，AD＝2a. (1)求证：平面SAC平面SCD； (2)求二面角A—SD—C的余弦值； (3)求异面直线SD与AC所成角的余弦值．[解析]　设l与α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝. θ＝30°. 故应选A. [答案]　A [解析]　以，，为单位正交基向量建立空间直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， ∴＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 设n，n，且n＝(a，b，c)， 则，， 取n＝(1,1,1)． ＝(0,0,1)，cosn，＝＝， sinn，＝. 故应选D. [答案]　D [解析]　设n＝λ＋μ＋是A1D和AC的公垂线段上的向量，则n·＝(λ＋μ＋)·(－)＝μ－1＝0， ∴μ＝1. 又n·＝(λ＋μ＋)·(＋)＝λ＋μ＝0， λ＝－1. n＝－＋＋， 故所求距离为d＝ ＝ ＝＝＝. 故应选A. [答案]　A [解析]　如图所示，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)， 又平面ABCD的一个法向量n为(0,0,1)， sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝. θ＝30°. 故应选A. [答案]　A [解析]　不妨设PM＝a，PN＝b，作MEAB，NFAB， 则因为EPM＝FPN＝45°， 故PE＝，PF＝， 于是·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋· ＝abcos60°－a·cos45°－·bcos45°＋· ＝－－＋＝0. 因为EM，FN分别是α，β内的两条与棱