3.1-3.2向量组及其线性相关.ppt

定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数组称为n 维向量，通常用希腊字母 等表示，如 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量． 也称为行向量，而将 称为列向量。 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？ 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ，如果存在不全为零的 实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的． * 第三章 向量 §1 向量组及其线性组合 一、向量的概念 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量. 分量全为实数的向量称为实向量． 所有分量都是零的向量称为零向量. 设 ，称 为其负向量，记为 若 的对应分量相等，则称这两个向量相等，记为 定义：设 n维向量 ，规定 二、向量的线性运算 向量的运算性质： 例：设向量 ，求 故 解：由 知 解：由 可得 例：设向量 ，若 求向量 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组． 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应． 有限向量组 三、线性组合与线性表示 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合．k1, k2, …, km 称为这个线性 组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示（出）． 例：设 那么 线性组合的系数 e1, e2, e3的 线性组合 一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维基本单位向量． 回顾：线性方程组的表达式 一般形式 向量方程的形式 增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式 方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？ 一般地，设有线性方程组 则其向量方程的形式为 向量 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = 有解 若令 则其向量组线性组合的形式为 例：设 问 能否由 线性表出？ 解：设 ，则有 解得 ，所以 能由 唯一地线性表出，且 §2 向量组的线性相关性 引 言 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km = 0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam = 0（零向量） 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？ 问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不