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第三章 线性空间 线性空间是高等代数主要研究的对象 体现了代数学中研究其他代数结构的基本思路 基本思路 元素之间的研究——线性关系 包括线性表出（线性组合）、线性相关、线性无关、空间的基和坐标、基之间的过渡矩阵 子结构的研究——从内部研究代数结构 子空间和子空间的直和 映射——从外部研究代数结构 线性映射和线性变换 线性空间理论的应用 矩阵的秩——对矩阵分类 线性方程组解的结构 数域 定义 集合K称为数域，若其满足下列条件: 至少包含两个元素 对其元素定义了加、减、乘、除运算 该集合关于加、减、乘、除运算封闭 数域_例 例1. 有理数域Q；实数域R；复数域C. 例2. 例3. 命题 任一数域必包含有理数域Q. n维向量_1 定义 数域K，a1, a2, …, an∈K, K上的n维行向量: K上的n维列向量: 注 n维行向量可看成是一个1×n 矩阵，n维列向量可以看成是一个n×1矩阵。向量的运算及等的定义与矩阵完全相同。 n维向量_2 向量的运算 (1) 加法 (2) 数乘 n维向量_3 向量运算规则 线性空间_1 定义 V: 集合，K: 数域 V上定义: 元素的加法 K中的数与V中元素的数乘 关于加法和数乘满足八条运算规则 ——称V是数域K上的线性空间或向量空间。 线性空间_例 例1 例2 例3 注1 以上集合关于通常意义的加法和数乘构成K上线性 空间 注2 线性空间_例 例4 为K上的一个线性空间。 例5 是实数域R上的线性空间。 线性空间性质 性质1 零向量是唯一的. 性质2 负向量也是唯一的. 性质3 向量的线性关系_1 定义 V:数域K上线性空间, α1,α2 ,…,αm:V中向量 若存在K中不全为零的数k1,k2,…km, 使得 k1α1+k2α2+…+kmαm=0 则称α1,α2 ,…,αm线性相关；否则称他们线性无关。 注_1 相关性与数域有关 注_2 线性无关等价定义 若存在K中数k1,k2,…km, 使得 k1α1+k2α2+…+kmαm=0 则必有k1=0，k2=0，…，km=0 向量的线性关系_2 定义 向量的线性关系_性质 性质1 性质2 向量的线性关系_性质 性质3 （形象表示） 性质4 特别提示 极大无关组_1 定义 极大无关组_2 命题 (1) 设Ⅰ,Ⅱ是V中两组向量且Ⅰ含有r 个向量, Ⅱ含有s 个向量。如果Ⅰ组向量线性无关且Ⅰ组中每个向量均可表示为Ⅱ组向量的线性组合, 则 r ≤ s 。 (2) 若Ⅰ,Ⅱ是两组向量且都是线性无关的向量组。又假定Ⅰ中的任一向量可用Ⅱ中向量的线性组合来表示, Ⅱ中任一向量也可用Ⅰ中向量的线性组合来表示, 则这两组向量所包含的向量个数相等. 极大无关组_3 极大无关组的计算 向量组的秩 命题 定义 设Ⅰ是K上线性空间V中的向量组，则Ⅰ的任一极大线性无关组所含的向量数 r 称为向量组Ⅰ的秩，用符号r (I) 表示。 注 向量组的秩是唯一的. 线性空间的基 定义 注_1 线性空间的基不唯一确定即对n维线性空间来说，其 中任意n个线性无关的向量组都可以作为该线性空间 的一组基。但维数唯一。 注_2 线性空间的基也就是线性空间的一个极大无关组。 线性空间的基和维数 基的等价定义 线性无关且V中任意向量可由 线性表示; 线性无关; V中任意向量可由 线性表示; V中任意向量可由 线性表示，且表示式唯一; V中任意向量添加到 中所成的新向量组线性相关; 基向量的个数就是维数. 维数与线性关系_1 命题 (1) n维线性空间任一组基都含有n个向量. (2) n维线性空间中任一超过n个向量的向量组必线性相关. 定理 (扩充基) 维数与线性关系_2 命题 注 命题表明, 若取定V中的一组基, 则V中任一向量可以而且只可以用一种方式表示为这