4-2数分.ppt

* * * * 试问, 函数 在区间I上一致连续与 在区 间I上连续的区别究竟在哪里？ 仅与 有关. 答: 首先, 对于 如果 在区间 I上连续， 那么, 不仅与? 有关, 而且还与所讨论的点 而 在区间I上一致 连续. 那么 对于任意正数? , 所得 在例8中 显然 关. 上连续, 则 上一致连续. 这个定理告诉我们: 定义在闭区间上的函数, 连 定理4.9（一致连续性定理）若函数 f 在闭区间 续和一致连续是等价的. 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极 限的诸多性质，都可以平移到连续函数中来． 函数极限的性质有局部有界性、局部保号性 ，四则 运算法则、复合函数极限 . 所谓连续函数局部性质就是指: 则 的邻域内具有的性质. 定理4.2（局部有界性） 则 定理4.3（局部保号性） 则对任意一个满足 注 与极限相应的性质做比较可见，这里只是把 “极限存在”，改为“连续”，把 定理4.4（连续函数的四则运算） 此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得 也是连续函数. 我们知道,常函数 与线性函数 都是 R 上 的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数 同理,有理函数 (分母不为零)同样是连续函数. 定理4.5 例 由 上连续，则 其定义域上也连续. 证 于是 根据定理4.5 例1 解 合，所以 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. 则有 改为 需要的结论. 事实上,只要补充定义（或者重新定义） 例2(1) 解 例2(2) 解 均有 使得对一切 存在 , , 0 D x D x ? ? 在本节中将研究 f 在 二、闭区间上连续函数的性质 定义1 若 点, 的最大值不存在,最小值为零.注意: 既无最大值,又无最小值. 例如,符号函数 的最大值为1,最小值为-1; 的最大值为1,最小值为-1;函数 (其上确界为1, 下确界为-1 ) 定理4.6（最大、最小值定理） 推论 虽然也是连续函数,但是 这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 定理4.7（介值性定理） 上连续, 则(至少)存在一点 质有着根本的区别. 从几何上看,当连续曲线 从水平直线 的一侧穿到另一侧时, 两者至少有一个交点. 推论（根的存在性定理） 则至少存在一点 使 由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下 下面再举一些应用介值性定理的例题. 设 在 上连续, 那么它的最大值 M 与最 结论: 小值 m 存在, 并且 证 先证存在性： 由极限的保号 使 使得 (读作 r 的 n 次算术根). 例3 则存在唯一的正数 连续， 则有 由于第二个括号内的数为正，则有 再证唯一性: 证 不妨设 f (x) 严格增, 那么 就是反 上连续, 且　　　与 f (x) 有相同的单调性. 定理4.8 若函数 f (x) 在 上严格单调且连续, 则反函数 三、反函数的连续性 函数　　　　　的定义域. 1. (证明见定 理1.2 ). 2. (如图所示) ①每一 ②对应 ③任给 ⑤取 ④对应 请读者类似地证明该函数在端点的连续性. 这就说明了 上连续. 对于任意的正数 且严格增. 关于其它的反三角函数 均可得到在定义域内连续的结论. 例5 因此它的反函数 上也是连续 严格增. 例6 连续且严 在　　　上亦为连续且 格增, 那么其反函数 在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要 只要　　　　　　就有 四、一致连续性 任意的正数 , 使得对任意 ,存在 定义2. 设 为定义在区间I上的函数, 如果对于 则称 在区间I上一致连续. 的概念. 例8 证 习题 证 证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在 例9 但仍有 确实不是一致 连续的. 总有 区间I上不一致连续的定义： * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *