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教育部重点课题新教育子课题 《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》 温州市瓯海区三溪中学 张明 2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义 问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 　　（１）力F所做的功W= 。 （２）请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 θ是 。 F S 问题：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？ 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量| | | |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 · · =| | | | cosθ a r a r a r a r a r a r b r b r b r b r b r b r 一、数量积的定义： 注意：向量的数量积是一个数量。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 记法“a·b”中间的“ · ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 活动二：探究数量积的概念 夹角 的范围 讨论并完成下表： 问题５：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。 一、问向量的数量积或内积为什么定义为 ？ 定义是随便定义的吗？难道是定义起来很随便？还是随便起来不定义？ 答：数学上的一个定义不会来自空中楼阁，而是有坚实的现实基础，比如这个定义就是物理中功的原型。在语文写作中，作者在构思一个人物形象时都可以在现实生活中找到原型。可以问你们的语文老师。比如钱钟书的〈〈围城〉〉里面的人物，贾平凹的〈〈废都〉〉里人物。 二、平面向量的数量积为什么取名数量积？积是什么意思？数量是什么意思？合起来是什么意思？ 总结： 二、1、同学们还记得直线或线段在一个平面内的投影吗？它是什么？线段的长度有什么改变？ 2、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的？线段的长度有什么改变？ 3、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事？ 答：线段只有大小没有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投影是可正可负的，请同学们看看向量投影的定义。 答：画一个平面和一条直线或线段，投影是条平面内的直线 或线段。 答：投影还是线段，长度 二、数量积的几何意义： 　　　　　　　　　　　　　　 叫做向量 　在 　方向上 （或向量 在 方向上）的投影。 （1）投影的概念： O A B θ |b|cosθ a b B1 （2）数量积的几何意义： 等于 的长度 与 的乘积。 探究（二）：平面向量数量积的运算性质 思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ a⊥b a·b＝0 思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ . 思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ ︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ 思考4：a·b与b·a是什么关系？为什么？ 思考5：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？ (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 其中， 是任意三个向量， 注： 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 五、数量积的运算律： ×。 四、向量数量积的三种特殊情况或性质。 如果你觉得理解起来抽象，该怎办？ 答：用两个具体的向量来代入一下，这两个