概率论与数理统计-概率的运算法则.pptVIP

§1.3 概率的基本运算法则 1. 概率的加法公式 2. 条件概率与事件的独立性 1. 概率的加法公式 定理1.3.1 若事件A，B互不相容，则 称为概率的加法公式 证明：（仅就古典概型证明） 设在某一条件下将试验重复进行 n次，即基本事件总数为n. 其中事件A包含的基本事件数为 m1，事件B包含的基本事件数为 m2， 由古典概率的定义得: 推广： 若事件 两两互不相容，则 例: 一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率． 解法1 设A={取到的3件产品中有次品}； Ai={取到的3件产品中恰有i件次品} (i=1,2,3) 则 由定理得 定理1.3.2 设A，B为任意两事件，则 证明：因为A+B= ，并且 与B互不相容，于是 又由于 对于三个随机变量，类似地有 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3)+P(A1A2A3) 2. 条件概率与事件的独立性 例 袋中装有16个球，其中6个是玻璃球，另外10个是塑料球。而玻璃球中有两个是红色，4个是蓝色；塑料球中3个是红色，7个是蓝色。现从中任取一个球， 设 A={取到蓝色球}， B={取到玻璃球} AB={取到蓝色的玻璃球} 则 P(A)=11/16 P(B)=6/16 P(AB)=4/16 乘法公式 由条件概率的定义可得： P(AB)=P(B) P(A|B)（当P(B)≠0时) 或 P(AB)=P(A)P(B|A) （当P(A)≠0时） 此二公式称为概率的乘法公式 注：当P(AB)不容易直接求得时，可考虑利用P(A)与P(B|A)的乘积或P(B)与P(A|B)的乘积间接求得。 乘法公式的推广 设 为任意n个事件，当 n ≥2 且 ，则有 例 一批产品的次品率为4％，正品中一等品率为75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。 解 设A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}， ＝{取到正品} ， 则 由于 故 于是 例:设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2；若第一次落下未打破，第二次落下时打破的概率为7/10；若前二次落下未打破，第三次落下时打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率. 例:一个盒子中有n(n1)只晶体管，其中有一只次品，随机地取一只测试，直到找到次品为止. 求在第k(1≤k≤n)次测试出次品的概率. 注意 事件A与B是否相互独立，一般不是根据定义来判断，而是根据实际意义来判定的. 区别互斥事件（互不相容事件）、对立事件、相互独立事件。 例:设袋中有4个球，其中1个涂成白色，1个涂成红色，1个涂成黄色，1个涂有白、红、黄三种颜色.今从袋中任取一球，设 A={取出的球涂有白色}，B={取出的球涂有红色}，C={取出的球涂有黄色} 试验证事件A,B,C两两独立，但不相互独立. 例:某人有一串m把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门。有一天该人醉后回家，下意识地每次从m把钥匙中随便拿一把去开门。问该人在第k次才把门打开的概率是多少? 解:设Ai={第i次测试的是正品} Bk={第k次测试到次品}，则 例 在100件产品中有3件次品，现从中连取两次，每次取一件，取后不放回，试求下列事件的概率： (1)两次都是正品 (2)一件正品，一件次品 (3)第一次、第二次正品，第三次次品 解 设A1＝{第一次取到正品}，A2＝{第二次取到正品}， A1A2={两次都是正品} P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=97/100×96/99≈0.94 (2)“一件正品，一件次品”可用事件 表示，并且 互不相容，故 (3)第一次、第二次正品，第三次次品 在此例中，若将取的方式