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§11-3 波的能量 波的强度 波动过程 质元由静止开始振动 质元也发生形变 波动过程是能量的传播过程 波是振动状态（相位）的传播 振动动能 形变势能 + = 波的能量 1. 上次课我们学习了机械波的产生和传播，并研究了描述波动特征的几个物理量，比如 周期 频率 波长 波速；我们还研究了介质质点偏离平衡位置的位移同时随空间坐标和时间的变化关系，也就是我们以后经常要用到的简谐波的波函数。 我们知道机械波产生的条件之一就是波源的存在，波源不停息的做简谐振动，就象一个能量的源泉，那么波源产生的能量 到哪里去了？是不是也会随着简谐波由近及远的传播出去呢？这节课，我们就来学习波的能量 2. 波是振动的传播 波所到之处，介质质点由静止开始振动，从而拥有了动能，同时介质质点偏离平衡位置而产生形变，于是具有了弹性势能，所以我们说：波动过程其实就是能量的传播过程。 3. 力学知识告诉我们，质点的动能与速度有关，而质点的弹性势能与形变量有关。下面我们就在弹性介质中取一小段线元，来研究它的速度和形变。 一. 弹性波的能量 O x y 线元的动能为 线元的势能（原长为势能零点）为 ① 以绳索上传播的横波为例： 设波沿x 方向传播，取线元 T2 T1 △l △y △x 其中 伸长过程中张力作的功 1. 能量 将 代入①、 ② 、 ③ 线元的机械能为 和 ③ ② 机械能 线密度 弦线中横波速度 在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同 步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化 规律是不同的；如图所示 讨论 x y O A B , A 点质元的动能、势能同时达到最小；B 点质元的动能、势能同时达到最大； w 能 = 0 w能 最大 某时刻弹性棒中各质元能量分布情况 此时能量是“一堆一堆”地集中于位移为零的那些质元处。 随着波形的传播，能量也向前传播，其传播速度也是u (波速)。 (2) 质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程 中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播 过程。 2. 能量密度 ? 设绳子的横截面为S ，体密度为 ，则线元单位体积 中的机械能（能量密度）为 平均能量密度 1. 能流 在一个周期中的平均能流为 s udt 2. 能流密度 垂直通过单位截面积的能流。 大小： 方向：波的传播方向 矢量表示式： 在单位时间内通过一定截面的波动能量为能流 S 二. 波的强度 3. 波的强度 (平均能流密度) 三. 平面波和球面波的振幅 1. 平面波 （不吸收能量） 由 平面波： 这表明平面波在媒质不吸收的情况下, 振幅不变。 一个周期内能流密度大小的平均值。 2. 球面波 由 令 得 球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r 增大而减小. 则球面简谐波的波函数为 （a 为离原点（波源）单位距离处波的振幅） 四. 波的吸收 实验表明 O ? 为介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波的频率有关。 I x I x I0 I0 O 五.声强级 1. 正常人听声范围 20 ? 20000 Hz. I 下（听觉阀） I I 上（痛觉阀） 2. 声强级 单位:分贝(db) 1000 o 20 20000 I (W / m2) I上=1 I 下=10-12 · · ?(Hz) 引起痛觉：120 db；繁忙街道：70 db；正常谈话：60 db； 耳语：20 db； 树叶沙沙响：10 db。 以1000 Hz 时的I下作为基准声强 I0, 前已讲：波是振动状态的传播，相位的传播，外观上有波形在传播。 现讨论：随着波的传播 能量也在传播。 ·对于“流动着”的能量，要由能量密度和能流密度两个概念来描述。 波在弹性媒质中传播时，各质元都在振动。 ·对一块弹性媒质， 因振动 ? 有振动动能； 因形变 ? 有形变势能，两者之和称此媒质中弹性波的能量。 -------------------------------------------------------------------- 机械波在弹性介质中传播时，介质中各质元都在其平衡位置附近作振动，而且相邻质元的振动步调不一致，使介质发生形变。所以，介质中各质元既具有动能，又具有弹性势能。 4. 以绳索上传播的横波为例：设波沿x 方向传播，取线元： 5. 我们很容易写出线元的动能为： 。 这里关键是计算速度v。由于质元在y方向做振动，所以速度就是y方向的位移随时间的变化率： 。注意！这里为什么用偏导数？（因为波函数是2元函数，有2个自变量x、t） 6. 我们再来看看势能的计算。线元由平衡位置