4.4大数定理与中心极限定理.ppt

第四节 大数定理与中心极限定理 概率论与数理统计主要是研究随机现象统计规律性的学科。而随机现象的统计规律性是在相同的条件下进行 大量 重复试验时呈现出来的。例如： 掷硬币后出现正面的规律性，是 大量的 抛掷后呈现的; 字母的使用规律性，是 大量的 查阅资料后呈现的。 一般地, 要从随机现象中去寻求事件内在的必然规律, 就要研究大量的随机现象。 大数定理和中心极限定理就是使用极限的方法研究大量随机现象的统计规律性。 切比雪夫不等式 大数定理 中心极限定理 第四节 大数定理与中心极限定理 一、切比雪夫不等式 证明：只证明连续型随机变量的情形。设 X 的概率密度为 f(x)，则有 一、切比雪夫不等式 切比雪夫不等式表明： 随机变量 X 的方差越小，事件 发生的概率越大，即 X 的取值基本集中在它的期望 μ 附近。由此，我们也可以看出，方差刻画了随机变量取值的离散程度。 在方差已知的情况下，切比雪夫不等式给出了 X 与它的期望 μ 偏差不小于 ε 的概率估计式。如取 ε = 3σ，则有 于是，对任意给定的分布，只要期望和方差存在，则随机变量 X 取值偏离 μ 超过 3 倍均方差的概率小于0.111。 一、切比雪夫不等式 例：已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率. 由切比雪夫不等式，得 即每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不小于 8/9. 一、切比雪夫不等式 例：在每次试验中, 事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立实验次数 n 最小取何值时，事件 A 出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的概率至少为 0.90? 解：设 X 为实验中事件 A 出现的次数，则 切比雪夫不等式 大数定理 中心极限定理 第四节 大数定理与中心极限定理 二、大数定理 证明： 由切比雪夫不等式 得 二、大数定理 定理说明： （1）该定理为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 例如, 要估计某地区的平均亩产量, 可收割某些有代表性的地块, 如n块,计算其平均亩产量, 则当n较大时,可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计. 此类做法在实际应用中具有重要意义. 二、大数定理 由上述定理，该推论得证。 二、大数定理 推论说明： （2）如果事件 A 的概率很小，则由 伯努利大数定律 知，事件 A 发生的频率也是很小的，或者说事件 A 很少发生。 即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生”，这一原理称为 小概率原理 ，它的实际应用很广泛。 但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的。在多次试验中，小概率事件也可能发生. 切比雪夫不等式 大数定理 中心极限定理 第四节 大数定理与中心极限定理 三、中心极限定理 在实际问题中, 许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的。 以一门大炮的射程为例, 影响大炮射程的随机因素包括: 大炮炮身结构的制造导致的误差, 炮弹及炮弹内炸药在质量上的误差, 瞄准时的误差, 受风速、风向的干扰而造成的误差 等等，其中每一种误差造成的影响在总的影响中所起的作用是微小的, 并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的总影响。 因此需要讨论大量独立随机变量和的问题。 中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题, 其结论表明: 当一个量受许多随机因素(主导因素除外) 的共同影响而随机取值, 则它的分布就近似服从正态分布。 三、中心极限定理 三、中心极限定理 例：一盒同型号螺丝钉共有100个, 已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率. 由 中心极限定理 ，所求概率为 三、中心极限定理 由 中心极限定理 ，所求概率为 例：对于一个学校而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. 求参加会议的家长数 超过450的概率. 因此， 三、中心极限定理 三、中心极限定理 注意：根据前面结论，二项分布 b(n, p) 可分解为 n 个相互独立、服从同一分布 b(1, p)（两点分布）的 n 个随机变量的和，故 棣莫佛—拉普拉斯定理 的结论对服从参数为 n, p 的二项分布也成立，即，正态分布是二项分布的极限分布。 三、中心极限定理 例：某车间有20