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*/18 牛顿迭代法应用 平方根迭代算法 求近似逆方法 非线性方程组求解 手机三点定位方法 ? ? ? ? 例1 平方根算法 收敛性分析 令 思考: 如果迭代初值 x0 为负数是否也收敛？ 例2*. 采用迭代法计算 ，取x0 = 7 (k = 0，1，2，……) 若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。 Ex2：对 是否都有这一性质? ?例3? 应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。 解：令 f(x) = x3 – a，则牛顿迭代公式 故立方根迭代算法二阶收敛 例4.设a 为正实数,试建立求1/a 的牛顿迭代公式,要求在迭代公式中不含除法运算,并考虑迭代公式的收敛。 xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……) 所以,当| 1 – a x0| 1 时，迭代公式收敛。 解:建立方程 利用牛顿迭代法，得 1 – a xn+1 = (1 – a xn)2 整理，得 应用:设 取X0 =1, 递推公式 牛顿迭代 设 例5 用牛顿迭代法求解非线性方程组 分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下 n xn yn xn yn 0 1 0 2 2 1 1.0625 0.1250 1.6458 1.5833 2 1.0673 0.1391 1.5570 1.4163 3 1.0673 0.1392 1.5465 1.3917 4 1.0673 0.1392 1.5463 1.3912 手机位置的三点定位法 已知三个基站的位置 P1(x1, y1) P2(x2, y2) P3(x3, y3) 手机位置 Q(x, y) ？？ 已测得Q到点P1、P2以及 P3 的距离d1,d2和 d3 ? d1 d2 d3 Q 数学模型 ? ? 其中， 矩阵表示 例1 已知三个接收站位置数据及手机距离数据 Pk xk yk d P1 10 40 33.5 P2 50 10 40 P3 100 50 60 x = 40.9500 y = 47.5625 直接法定位 非线性超定方程组 方程组局部线化 线性超定方程组 超定方程组最小二乘解 初值修正 高斯-牛顿迭代