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1 第1章 矢量分析与场论 1.1 矢量及其代数运算 1.2 直角、圆柱、球坐标系 1.3 矢量场 1.4 标量场 1.5 亥姆霍兹定理 1.1 矢量及其代数运算 1) 标量(Scalar) 一个仅用大小就能够完整描述的物理量 电压、温度、时间、质量等 所有实数 标量场 加法: C=A+B 减法: D=A-B 2) 矢量(Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度等 表达式： 它的大小称为模，记为 A 模为 1 的矢量称为单位矢量，记为 ；模为0的矢量称为零矢量，记为 。 矢量场 加法： 减法： 矢量的乘积 标量积 (Scalar Product) 定义：①任意两个矢量 与 的标量积是一个标量 ②它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积 ③又称为：点积 图示： 表示： 性质：①互相垂直 0 ②互相平行 AB ③服从交换律和分配律 矢量积 (Vector Product) 定义：①任意两个矢量 与 的矢量积是一个矢量 ②其大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积 ③其方向垂直于矢量 与 组成的平面 ④又称为：叉积 图示： 表示： （右手螺旋） 性质：① 互相平行 ② 服从分配律 右手螺旋定则〈补充〉 右手螺旋定则 ( right-handed?screw?rule ) 表示右手螺旋柄的旋转方向与螺旋前进方向之间相互关系的法则。由两个矢量的矢积（亦称叉乘或叉积）得出的第三个矢量的方向可由此定则确定。若 ，把由经 小于180°的角度转向 的方向取为右手螺旋柄的旋转方向，则螺旋前进的方向即为 的方向。显然 垂直于由 、 构成的平面。在初等物理学中，常以弯曲的四指代表线圈或螺线管的电流方向，直伸的拇指代表磁场方向；以直伸的拇指代表电流方向，弯曲的四指代表磁力线即磁场方向。 矢量在三维正交坐标系中的表示及性质 单位矢量： 三个分量： 表达式： 性质：① ② 矢量在直角坐标系的代数运算 加法和减法 标量积 矢量积 1.2 直角、圆柱、球坐标系点P 在三种坐标系的投影 1 直角坐标系 三个变量 (X,Y,Z) 来表示 单位矢量： 投影数值：X、Y、Z 位置矢量 表示： xy、yz、xz三个坐标面 互相垂直 2 圆柱坐标系 2 圆柱坐标系 2 圆柱坐标系 表达式 矩阵形式 3 球坐标系 三个变量(r, θ, φ)来表示 单位矢量: 位置矢量 ，又称为矢径， 可表示为： 3 球坐标系 三个互相垂直的坐标面 坐标面 r： ( 0≤r ∞) 坐标面θ： (0≤θ≤π) 坐标面 φ： (0≤φ2π) 3 球坐标系 圆柱坐标系 任意一点P沿ρ、φ和z方向的长度增量分别为： 它们与沿各自坐标增量之比（拉梅常数）分别为： 三个坐标面的面元矢量分别为： 体积元为 球坐标系 任意一点P沿r、θ和φ方向的长度增量分别为： 它们与沿各自坐标增量之比（拉梅常数）分别为： 三个坐标面的面元矢量分别为： 体积元为 1、课本P18的习题1.2； 2、复习矢量的矩阵表达及矩阵的求逆运算； 复习行列式的计算 3、自做一遍课本P7的[例1-1] 第1章 矢量分析与场论 重点 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 位置矢量 图1-1 点P的投影坐标面 (P1) 三个变量(ρ, φ, z)来表示 x =ρcosφ y =ρsinφ z = z 三个变量(ρ, φ, z)来表示 x =ρcosφ y =ρsinφ