空间向量基本定理.ppt

* 1 平面向量与空间向量的标准正交分解 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为x轴y轴z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量 ，存在唯一一组三元有序实数对 ，使得 ，我们把 叫做 的标准正交分解，把 i，j，k叫做标准正交基。 思考：平面向量除了标准正交分解之外，还有其他的分解方式吗？空间向量呢？ 解析：如图所示 思考：平面向量的运算可以推广到空间向量，那么平面向量基本定理可以推广到空间向量吗? 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量 都可以表示为 ，其中 是一对唯一的实数。 2 平面向量基本定理 是空间中三个不共面的向量，则空间中的任一向量 都可以表示为 ，其中 是一对唯一的实数。 空间向量基本定理： 如果向量 是空间三个不共面的向量， 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 ，使得 思考：这个定理该如何证明呢？ 如果向量 是空间三个不共面的向量， 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 ，使得 分析：如图，把 的起点移到同一点，记 空间向量基本定理： 相关概念： 如果向量 是空间三个不共面的向量， 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 ，使得 （1） 如果向量 是空间三个不共面的向量， 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 ，使得 空间中三个不共面的向量 叫做这个空间的一个基底。（1）式表示向量 关于基底 的分解。 思考：当向量 两两垂直，此时的分解具有什么特点？若还有 呢？ 解析：当向量 两两垂直时，得到这个向量的正交分解；若还有模为1，就是上节课学的标准正交分解。 空间中三个不共面的向量 叫做这个空间的一个基底。（1）式表示向量 关于基底 的分解。 x y z Q P O 对于空间向量的基底的理解： 1 空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一 ； 2 三个向量不共面，隐含它们都是非零向量； 3 基底是一个集合，一个向量组，一个向量不能构成基底，基向量是基底中的某一向量； 4 通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底； 5 空间中任一向量都可由一个基底生成。 思考： 是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底吗？ 解析：可以。能否由原来的基向量生成新的基底，取决于生成的新向量是否共面，即其中的一个向量能否用另两个向量线性表示 。 能举例说明吗？ 解析：利用向量的加减反推，再用 表示。 解析：各基向量的系数由其分解形式决定，基底选定，系数唯一确定。 B *