第三章守恒定律.ppt

3.17 假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置h落入洞中，求质点通过地心的速度。 O r m h . R 由动能定理： 解：设通过地心的速度为 又质点在地球内、外受力不同 3.18 一轻绳绕过一质量可以不计且轴光滑的滑轮，质量皆为m的甲、乙二人分别抓住绳的两端从同一高度静止开始加速上爬。 1)二人是否同时到达顶点？以甲、乙二人为系统，在运动中系统的动量是否守恒？机械能是否守恒？系统对滑轮轴的角动量是否守恒？ 2) 当甲相对绳的运动速度u是乙相对绳的速度2倍时，甲、乙二人的速度各是多少？ 解：1) 甲、乙二人受力情况相同，故运动相同，即有相同的加速度和速度 m 甲 乙 m R 二人在任一时刻的速度相同，上升的高度相同，所以同时到达顶点。 以二人为系统，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg)0，故系统的动量不守恒。 以人和地球为系统，张力T对系统做功，因而系统的机械能不守恒。显然人在上升过程中机械能在增加。 甲、乙二人相对滑轮轴的合外力矩等于0，系统对轴的角动量守恒。 2) 设绳子的牵连速度为v0，滑轮左侧绳子的v0向下，滑轮右侧绳子的v0向上。而甲、乙相对地面的速度分别为v甲和v乙。 所以 讨论：由于人用力向上爬时，人对绳子的拉力可能改变，因此绳对人的拉力也可能改变，但甲、乙二人受力情况总是相同，因此同一时刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人总是同时到达顶点，与人相对绳的速度无关。 3.19 地球可看作是半径R=6400km的球体，一颗人造地球卫星在地面上空h=800km的圆形轨道上，以v1(v1=7.5km/s)的速度绕地球运动。今在卫星外侧点燃一支火箭，其反冲力指向地心，因而给卫星附加一个指向地心的分速度v2=0.2km/s。求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多少千米？ 提示：由于火箭的反冲力，使卫星在当时的速度变为v1+v2，合速度不与地心引力垂直，从而使卫星轨道改作椭圆运动，由于引力始终通过地心，因此在作椭圆运动时角动量守恒 解：火箭点燃后瞬时，可认为卫星对地心的位矢r不变，卫星绕行在远地点（或近地点）位矢r ?， r ?与该处的速度v ?垂直。 由角动量守恒有 卫星运动时，卫星和地球系统的机械能守恒 (1) (2) 对于卫星原来的圆轨道 (3) (1)－(3)联立求解， 远地点高度 近地点高度 3.20 一质量为M具有半球形凹陷面的物体静止在光滑的水平桌面上，凹陷球面的半径为R，表面也光滑。今在凹陷面的上缘B处放置一质量为m的小球，释放后，小球下滑，当小球下滑至最低处A时，求物体对小球的作用力？ R m B A M 解：系统水平方向动量守恒 (1) 小球、物体和地球系统机械能守恒 (2) 小球到达A点，由于M在水平方向不受力，故为惯性系，以M为参考系，对m运用牛顿第二定律 v?为小球相对M的速度，由速度合成定理 上式代入(3)式，得 (3) (4) (1), (2), (4)三式联立得 N为小球运动到A处时，物体M对小球的弹力。 说明：相对于凹陷球面小球作圆周运动，但物体M有加速度，它是非惯性系。小球在一般位置处对它分析力时应考虑惯性力，但小球运动到A处时，由于M此时加速度为0（水平方向不受力），它是瞬时惯性系，牛顿定律仍然成立。 一人施一恒定力于一固定墙壁，他对墙壁不做机械功。试问他这样做为什么感到疲倦？ 思考题 一以速率v 前进的汽车中的驾驶员，突然看到，在他的正前方距离为d 的地方，有一短的砖墙。为了避免撞毁汽车，他是使劲刹车好，还是使车急速地绕过墙好？（考虑在这两种情况下所需要的力。） 一人逆水划船，要使船相对于岸静止不动。试问：1) 他是否要作功？2) 如果他停止划船，让船随流而下，则流水对船是否作功？ * * 3.1 已知地球质量为M，半径为R，对质量为m的质点的引力为 ，其中 为质点相对于地心的位矢。 若选地面为势能零点，试求：1) 势能函数；2) 质点处于地面附近上空时，势能函数的近似式。 解：1) 由势能计算式 2) 设质点距地面高度为h 由于 所以 3. 2 绳长l，质量M，t=0时绳悬下部分为b，求绳全部离开光滑桌子时的瞬时速度。 解一：由动能定理 （1） 其中 上两式代入式(1)中，得 方向垂直向下。 解二：由牛顿第二定律得： 代入式 (1)得： 其中 3 .3 一质点在重力作用下，在半径为R的光滑球面上的一点A由静止开始下滑，在B点离开球面。证明：A、B两点的高度差等于A点和球心高度差的1/3。 证明：质点的过程只有保守力作功，所以机械能守恒， 选B点为势能零点 又在B点离开球面，N=0（支持力为0） （1） （2） 由几何关系得： 联立(1)－(3)式得： （3） 3.4 一炮弹在轨道最高点炸成质量