第二十五讲方阵相似于对角阵的充分必要条件.ppt

微分方程 * * 第三讲 矩阵对角化的步骤 第五章 相似矩阵与二次型 定理 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 ? 的充 要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值, 则A 必能相似于对角矩阵. 矩阵可对角化的条件 我们先假设存在可逆矩阵 ，使 将 用其列向量表示为 由 得 ，即 于是 ，这说明 是 的特征值， 是 的对应于特征值 的特征向量。这就是 的具体构造方法. 因为 可逆，所以 线性无关. n1 + n2 + ··· + ns = n. 矩阵对角化的步骤 设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下： Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A 有 s 个不同的特征值 ?1 , ?2 , ··· , ?s ，它们的重 数分别为 n1, n2 , ··· , ns , 有 Step2 : 对 A 的每个特征值 ?i ,求(A - ?iE)x = 0 的基础解系, 设为 ( i = 1, 2, ··· , s ) . 以这些向量为列构造矩阵 上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系. 则 P-1AP = ? . 要注意矩阵 P 的列与对角矩阵 ? 主对角线 例2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？若可， 则将其对角化，并写出相似变换矩阵P及对角 矩阵 ?。 解： 得 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 相似变换矩阵 相似对角阵 当 时，解 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 实对称矩阵的相似对角化 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 定理2　设A为 n 阶实对称矩阵，λ是A的特征方 程的r 重根,则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-r，从 而对应于特征值λ恰有 r 个线性无关的特征向量. 定理3　设A为 n 阶实对称矩阵，则必有可逆阵P， 使得 P-1AP = ? ，其中? 是以A的n 个特征值为对 角元素的对角阵. * * * *