第二章04随机变量函数的分布密度.ppt

概率论与数理统计 * * 第四节 随机变量函数的分布密度 已知连续型随机变量X的密度函数 随机变量 Y = g( X ) ， 求随机变量 Y 的密度函数。 4.1 分布函数法 连续随机变量X的函数Y=g(X)的分布密度函数 (1)使用如下公式计算Y的分布函数 (2)对 求导，得到Y的密度函数： 例4.1设X服从[0,1]上的均匀分布，令 求Y的密度函数. 2、X的密度函数： 3、X的分布函数： 分析：1均匀分布的密度函数与分布函数 解： 求导得： 当 时, 当 时, 故： 例4.2 某人驾车从甲地到乙地，两地相距180公里，速度值服从[30,60](单位:公里/小时)区间内的均匀分布。求这段旅程所费时间的密度函数。 解：设X是速度,Y=g(X)是这段旅程所花费的时间，则 Y的分布函数： X的密度函数 分布函数为： 即： 对上式求导，得Y的密度函数为： 本题计算步骤： X的密度函数— X的分布函数— Y的分布函数— Y的密度函数 例4.3 已知X 密度函数 的密度函数(教材P64) 求随机变量 解 当y0时， 应用复合函数求导法： 4.2 线性函数 用X的密度函数表示线性函数aX+b的密度函数： 第一步，计算aX的密度函数。aX的值域比X的值域大a倍。所以，aX的密度函数是将X的密度函数在x轴方向拉长a倍。但为了使aX的密度函数与x轴围成的面积为1，必须将X的密度函数下拉到原来的1/a. 随机变量aX+b与aX一样,只是将图形平移了b个单位。 最后，得到随机变量Y=aX+b的密度函数为： 随机变量X的线性函数的分布密度函数 假设X是连续变量，密度函数为 定义： 则 证明：(只证a0的情形) 用复合函数求导法得： 解: 例4.4 设X 服从[0,2]上的均匀分布,密度函数 求Y=2X+1的密度函数.(P63） Y的密度函数为 例4.5 (指数随机变量的线性函数)随机变量X服从参数为λ的指数分布，密度函数为： 定义Y=aX+b,则 注：b=0,a0,Y仍是指数分布，但一般情况Y不是指数分布。 4.3 单调函数 设 y=g(x)是x的单调可导函数,其反函数为x=h(y)， Y=g(X)的密度函数为： 证： 则在 内， 例4.2 在区间[30,60]内，h(y)=180/y,所以 所以当 时，运用公式得到： 时，Y的概率密度 解 是单调增加的函数，其导函数恒不为零， 反函数为 例设随机变量X的密度函数为 求 的密度函数. 值域为y0， 由定理可得，当 （教材P65） 时，概率密度为 当 的概率密度为 从而 * * *