第四章理想流体的动力学基础.ppt

第四章 理想流体的动力学基础 第一节 理想流体运动微分方程 第二节 运动微分方程的葛罗米柯——兰姆形式 第三节 恒定有旋流动沿流线的伯努利方程 先做如下假定： （１）理想流体恒定流动； （２）质量力有势； （３）正压流体， （４）沿流线积分。 第四节 恒定有势流动中的欧拉积分 恒定流动， 第六节 重力作用下的伯努利方程 对不可压缩流体做恒定流动，则均为： 第七节 伯努利方程的意义 第八节 相对运动中的伯努利方程 与绝对恒定相比有如下不同： （1）人观察的是质点相对速度，而非绝对速度 ； （2）作用在流体上的质量力；除重力外还有离心力。 流线上A点，一方面随叶轮以u=ωr做牵连运动，另一方面，又以速度w相对叶轮运动，故伯努利积分为： v=w，单位质量上离心力为ω2r，于是，fx=ω2x，fy=ω2y，fz=-g， 对不可压缩ρ=const, 又∵u=ωr,各项除以g， 上式称理想流体微小流束相对恒定流动的伯努利方程，与绝对运动相比，多了（u22-u12）/2g一项，这一项为单位质量流体在离心力作用下做的功。 当r变化时，离心力做功，r不变，不做功。从r1到r2，离心力做功为： 当r2﹥r1时，流体沿离心力方向运动，做正功，称水泵工况；此时，流体从中心进入，从圆周方向切向流出。 当r2﹤r1时，流体沿离心力反方向运动，做负功，称水轮机工况。此时，流体从圆周方向切向进入，从中心流出。 第九节 非恒定有旋运动中的伯努利积分 ∵非恒定 叶轮以恒定ω转动，若将坐标系xoy固定在叶轮上，随叶轮转动，此时质点相对叶轮做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的。 取流线1-2，流体沿1-2流动，流动恒定， 1-2为迹线。 dU=fxdx+fydy+fzdz=ω2xdx+ω2ydy+(-g)dz， U=ω2x2/2+ω2y2/2-gz+C=ω2r2/2-gz+C， 伯努利积分变为： 对任意的1，2两点有： 设： 则： 则葛——兰方程为： 假定：流体为正压， * * 本章研究无粘性流体运动参量及所受的力与动量之间的关系。首先导出理想流体欧拉运动微分方程，然后转变为葛罗米柯形式，并在特殊条件下积分得到能量关系式。 在牛顿第二定律基础上给出微分方程式。 如图： o z x y p-?p/?y·dy/2 p+?p/?y·dy/2 Q A(x,y,z) 在流体中取平行六面微元体，边长dx，dy，dz 。在某时刻t，中心A（x,y,z）处，压强p（x,y,z,t），中心速度v分量vx，vy，vz 。因为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在，只有法向压力。 先看质量力，FQ分力： 再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上微小量，于是： 在y轴方向表面力 按第二定律，产生ay加速度，m=ρdxdydz 同理得x，z方向即： （4-1） 向量： （4-２） (4-1)变形 （4-３） 向量： （4-４） 　这就是理想流体运动运动微分方程——欧拉方程。 　（4-3）中未知量： 　对静止流体 　变为平衡欧拉方程。 fx , fy , fz已知，联立连续方程 对不可压缩ρ=const，四个方程封闭可解。 例：对可压流体，加上连续方程，状态方程ρ=f（p，T），封闭。虽然理论上可解，但是初始条件，边界条件难以用数学表达给出，一般不可解。 代入（4-3），有： 向量： 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　（4-6） 假定：（1）质量力是有势力，存在力函数 U（x,y,z,t），有　　　　　　　　　　　。 (2）ρ=f(p)，p(x,y,z,t)，引入压力函数　 微分 （4-7） dx,dy,dz 系数相同，于是： 对于ρ=const， 展开： 对等温下，可压缩流体：　　　　　　有 对等熵变化 于是（4-5）式变为 即为葛罗米柯——兰姆形式。 由此可见：运动有有旋、有势之分。 由条件（1） 　　　　　　　　　　；　　 葛罗米柯形式含有（2），（3）两个条件。 于是变为 对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分即沿迹线积分。 由于dl=vdt，dl分量为dx,dy,dz，dx=vxdt, dy=vydt，dz=vzdt. 将上式各式左边分乘dx,dy,dz，右边分乘vxdt，vydt，vzdt，相加，有 对不同流线，Cl 不同，而在同一流线上，势能，压力能，动能之和为常数。 积分 ※我们是在有旋条件下得到，而在结果上却与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质量力有势，恒定沿流线即可。 有势则： 葛—兰方程变成 　　　　　与x,y,z无关，也与t无关，分乘 dx,dy,dz，相加，再积分： 　此为欧拉积分。 说明：只要理想，正压，流