5-1定积分的概念.ppt

一、引例 二、定积分的定义 三、定积分存在的条件四、定积分的性质 第一节 定积分的概念 （1）曲边梯形 在直角坐标系中，由三条直 线 及 一条连续曲线 所围成的图形(如图). 一、引例 a b x y o 1、曲边梯形的面积 上各点处的高 在区间 上是变化的， 曲边梯形的面积 . （2）曲边梯形与矩形的差异 矩形的高是不 变的，矩形的面积＝底×高；曲边梯形在底边 其中曲线弧为曲边梯形的曲边,区间 为 曲边梯形的底边. 分割 在区间 中任意插入 个 （3）计算曲边梯形面积的方法 过每一分点作平行于 轴的直线，把曲边 梯形分割成 个窄曲 边梯形. 分点 ，把区间 分成 个小区间 它们 的长度依次为 (ii) 近似 在每个小区间 上任 取一点 ，以小区间 为底， 为高 的窄矩形的面积来代替第 个窄曲边梯形的面 积 ，这样第 个窄曲边梯形面积 的近 似值为 . (iii) 作和 将 个窄矩形面积相加，就得 到所求曲边梯形面积 的近似值， 即 . 取上述和式的极限，便得曲边梯形面积的精确 值 . 令 个小区间中长度最大值 （iv)取极限 ，当 时 (1)变速直线运动与匀速直线运动的差异 物体在 时间间隔中作匀速运动，其路程 ＝速度×时间；物体在同一时间间隔作变速运 动时，各时刻运动速度是变化的，即 ， 其路程 速度×时间. (2) 计算变速直线运动路程的方法 （i）分割 在时间间隔 内任意插入 2.变速直线运动的路程 个分点， ,把区 间 分割成 个小区间 相应地各小区间的路程依次为 . (ii)近似 在每一时间间隔 上任 取一时刻 ，用 时刻的速度 代替 上各时刻的速度，这样第 时间间隔内物体 所经过的路程 的近似值为 . (iii)作和 将 段时间间隔的路程的近 似值相加，就得到所求变速直线运动路程 的 近似值，即 . (iv)取极限 令 ， 当 时，取上述和式的极限，便得变速直 线运动路程的精确值 . 1.定义 设 是定义在区间 上的有界函 数，在 中任意插入 个分点，相应地把 区间 分成 个小区间 各小区间的长度依次为 ,在每 个小区间 上任取一点 ， 二、定积分的定义 作函数值 与小区间长度 的乘积 ， 并作出和式 ， 记 ，当 时和 式总趋于确定的极限 ,且 不依赖于 的 分法，也不依赖于 的选取，这时我们称 为 函数 在 上的定积分，记作 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 积分下限 积分上限 ，即 说明 (1)定义中 是要求取极限时保证各小区 间均缩成一点；虽然当 时， ， 但当 时不能保证 ，故不能用 代替 . (2)定义中区间