5.7切线长定理(用).ppt

新课学习 O 。 A B P 过圆外一点可以引圆的几条切线？ 尺规作图： 过⊙O外一点作⊙O的切线 O · P A B O 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 · O P A 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线:不可以度量。切线长：可以度量。 比一比 B O A B P 思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 1 2 请证明你所发现的结论。 A P O B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言: 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 O P A B 切线长定理 A P O B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB M 试一试 探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。 B A P O C E D （1）写出图中所有的垂直关系 （3）写出图中所有相等的线段 （2）写出图中与∠OAC相等的角 已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。 E A Q P F B O 例题1 如果∠P=46°,求∠COD的度数 例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 例题2 例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm) ∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm). ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切 ∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD 则有 x＋y＝9 y＋z＝14 x＋z＝13 解得 x＝4 y＝5 z＝9 例题3 练习1.如图，△ABC中,∠C =90o ,它的 内切圆O分别与边AB、BC、CA相切 于点D、E、F，且BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r. O E B D C A F 2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4, ⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求Rt△ABC的内切圆的半径 . · A B C E D F O 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。 A P O 。 B E C D ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 C A B D 练习1：已知：AB是弦，AD是切线，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关系并证明. E