5.静力学：相图、物理平衡复习.doc

静力学的基本方程大家都是熟知的，对于每个物体写合力为零+合力矩为零，但是这样的后果是经常造出一个n元一次方程组（n元不等式的处理办法我们在上一讲已经部分解决）。如何省去不必要的麻烦是这一讲的目标。正是“去掉所有不必要的东西”，“用同一个方程表述尽量多的情况”这样的想法诱发了拉格朗日等人建立了理论力学。如今理论力学已经几乎现代物理的标准描述方式。 静力学化简的基本原理在于，约束力是“要多大，有多大”。约束力和约束总是成对出现，增加一个几何条件，增加一个未知的力。如果能让一个约束力不出现在方程中，方程组就会从一个元一次方程组变成元一次方程组。要知道在n很大的时候，解方程计算量大约是，从而导致你的运算时间随着增长，计算正确率随着下降，其中是你一次计算犯错的概率。所以要干事情就是不让约束力出现。 第一部分：矢量力学的基本方法 在垂直于约束力方向写方程，也就是高中天天念叨的“在XX方向的分力” 通过合理选取支点，让一些力不出现。 注意 I 只有合外力等于0的体系才能导致体系不同点为支点计算力矩相同 II 同一个物体选择两个支点写方程，相当于一个力矩方程+一个不平行于支点连线方向的受力方程。 通过以整体为对象，将内部相互作用消去（相当于用目测的办法把两个方程加了一下） 即将滑动的时候将摩擦力和支持力合成一个确定方向，不定大小的力。然后配合矢量图或者三力汇交解决问题。（相当于用目测的办法把这个式子带入了） 计算的主要复杂度来源于将方程相加时候，要把同类项都乘一遍，再加一遍，如果能每次都能“用一个方程消灭一个未知数”，那么你解的就是个一元一次方程，而不是元一次方程组，正确概率会变成，时间变成，显然好了很多。以5为最后目标，以1-4为手段，绝大部分静力学暴力计算题都可以合理时间内解决。 附加说明两点 1 明白这些原理的老师命的题可以使得以上做法全部失效，参见学而思出的《第29届复赛模拟试题汇编》（六套），在下载。 2 如何在压根没时间解方程时候，只通过解方程混分，参见暑期最后一节课的骗分学导论。 例题精讲 经典老题，体会一下怎么从初学时候写三个方程，变化到写两个方程，再变化到只写一个方程。 （03年北京力学竞赛决赛）如图所示，一个半径为R的光滑半球面固定在水平面上，ABC代表一刚性均匀细杆，它和A、B点接触均无摩擦，若图示杆所处的位置是平衡位置，已测出AC=L，那么图中的ABC和水平的角度可以计算出来为______________。 经典老题，注意怎么样选择支点，“每一步都解出一个未知数”，避免高元方程。 如图所示，半径分别为和的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力。设所有接触处的静摩擦因数均为。为使在力的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问应满足何条件？ 第28届复赛第二题，注意怎么样拆分体系，“每一步都解出一个未知数”，避免高元方程。 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图28复—2放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l. （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。 （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。  第二部分：分析力学的基本方法 详细的推导有兴趣的同学可以翻周乐柱写的《理论力学简明教程》。我们只讲其中跟高中相关的。在满足约束条件的情况下，约束力一定不做功，只有主动力做功，因此在写能量变化的方程的时候，只有主动力会出现，从而达到了消去约束力的目的。 例题精讲 复习一下情景的受力求法。 质量为长度为1/4圆弧的链条铺在半径为的光滑圆柱上，为了保持平衡需要在顶端加一个水平拉力。求拉力大小。 质量为长度为的过山车驶过一个半径为的轨道，速度为。求不同车厢之间的拉力随着不同位置变化的函数。 分别计算表面张力为的球形气泡和两段封闭的圆柱形气泡的内外压强差。半径为 平行板电容器面积为，厚度为。充电点为，求两极板之间的作用力。已知真空中电场的能量密度为 还是那个电容器，两极板接电源，求两极板之间的作用力。 还是那个电容器，将其一般面积塞上介电系数为的电介质，求维持平衡需要的外力。 两块足够大的导体板，相距为，流动着面电流密度为的电流，两面流动方向相反。求为了保持平衡单位面积上需要加的外力为多少。已知真空中磁场能量密度为。 总结：使用虚功原理的条件。 平衡态 保守力 能量和做功能顺利写出 虚功原理的使用步骤 寻找合适的变量（满足约束条件的独立变量） 写出体系总能量 写出这个变量变化的时候对应的做功表达式 1.求圆心角为的匀质圆环