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主动学习网理念：激发兴趣，挖掘潜力，培优教育网址： HYPERLINK 电话：01062923545 学奥数，找致远！致远的奥数就是好！ 09年四升五讲义-第9讲-质数合数、平方数、余数 解析版 Page PAGE 5of NUMPAGES 5 09暑期四升五第九讲答案 ※【知识归纳】※ 【基础知识】质数（素数）：只有1和它本身两个约数的自然数叫质数，质数有且仅有两个约数。质数反应了数的本质。2是唯一的偶质数，1是非质数，也非合数。合数：约数有3个或3个以上的自然数叫合数。高斯【唯一分解定理】：任何一个整数，可以写成一串质数相乘的积。欧几里德证明了素数（质数）有无穷多个。哥德巴赫猜想：每个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和。在连续3个奇数中一定有一个数是3的倍数。3个连续偶数中一定有一个数是3的倍数。只有完全平方数才有奇数个约数，只有质数的平方才有3个约数。构造n个连续合数的方法：(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．100以内的质数要熟记： 【基础知识】 质数（素数）：只有1和它本身两个约数的自然数叫质数，质数有且仅有两个约数。质数反应了数的本质。2是唯一的偶质数，1是非质数，也非合数。 合数：约数有3个或3个以上的自然数叫合数。 高斯【唯一分解定理】：任何一个整数，可以写成一串质数相乘的积。 欧几里德证明了素数（质数）有无穷多个。 哥德巴赫猜想：每个大于4的偶数都可以表示成两个质数之和。 在连续3个奇数中一定有一个数是3的倍数。3个连续偶数中一定有一个数是3的倍数。 只有完全平方数才有奇数个约数，只有质数的平方才有3个约数。 构造n个连续合数的方法：(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、…、(n+1)整除，它们是连续的n个合数．其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n． 100以内的质数要熟记：（2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97） 平方数：因子能平均分给两个人。立方数：因子能平均分给3个人。4次方数：因子能平均分给4个人。 和差积的余数同余余数的和差积。 所以这3个质数的和为2+3+331=336． 【2】【解析】有1477÷除数=商……49，那么1477-49：除数×商，所以，除数×商=1428=2×2×3×7×17． 一般情况下有除数大于余数．即除数大于49且整除1428，有84、51、68满足． 所以满足题意的两位数有51、68、84． 【3】【解析】 2924=2×2×17×43=A×B，且有A+B被5除余l，则和的个位为1或6． 有4×17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数． 它们的差为68-43=25． 【4】【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209． ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19． 当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17; 当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是质数，所以不满足题意． 所以它们的乘积为11×2×17=374． 【5】【解析】方法一：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，而34×34×34即最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有33×34×35=39270． 所以33、34、35为满足题意的长、宽、高． 则长方体的表面积为：2×(长×宽+宽×高+高×长)=2×(33×34+34×35+35×33)=6934(平方厘米)． 方法二：39270=2×3×5×7×11×17，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足． 当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34接近的数32～36中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度． 而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为33×34×35． 长方体的表面积为2×(++)=2×(1190+1155+1122)=2×3467=6934(平方厘米)． 【6】【分析与解】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3