212 第一类曲面积分的计算.doc

§21.2 第一类曲面积分的计算 一 曲面的面积 （1）设有一曲面块，它的方程为 。 具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为 。 （2）若曲面的方程为 令 ，，， 则该曲面块的面积为 。 例1：求球面含在柱面内部的面积。 例2：求球面含在柱面内部的面积。 二 化第一类曲面积分为二重积分 （1）设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则 。 （2）设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为 令 ，，，则 。 例3：计算，是球面，。 例4：计算，其中为螺旋面的一部分： 。 注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。 例5：I=，是球面，球心在原点，半径为。