435三垂线定理.doc

PAGE PAGE 3 4.3.5三垂线定理 知能目标锁定 1.掌握斜线在平面内射影的有关概念. 2.掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它们解决有关问题. 重点难点透视 三垂线定理及其逆定理是本节的重点和难点，它们实质上是平面内直线与平面的斜线互相垂直的判定定理和性质定理.在定理中需要“一面、四线、三垂直”.“三垂直”即“PA⊥a；AO⊥a；PO⊥a”所以称为“三垂线定理”. 它们的证明思路者是“线面垂直→线线垂直”. 方法指导 1.要注意三垂线定理及其逆定理的区别：三垂线定理是先有平面内的直线a垂直于射影的条件，然后得出a垂直于斜线的结论.而逆定理则是已知平面内的直线垂直于斜线，再推出平面内的直线垂直于射影，即三垂线定理是“线与射影垂直→线与斜线垂直”，逆定理正好相反，在引用时注意不要混淆. 精题巧练 一、夯实双基 1.下列命题中正确的命题是： A.在一个平面内和这个平面的一条斜线垂直的直线可能相交 . B.一个平面内有无数条直线和这个平面的一条斜线垂直. C.一条直线如果和一个平面的斜线垂直，则这条直线就垂直于这条斜线在这个平面内的射影 . D.一条直线如果和一条斜线在平面的射影垂直，则这条直线就垂直于这条斜线. 2.在平面内与的斜线l垂直的直线： A.有且只有一条 B.可能有一条也可能有无数条 C.有无数条多条 D.可能不存在 3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1C A.AC B.BD C.A1D1 D.A1 4.点O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，则PC与AB所成的角是 . 二、循序厚积 5.直角△ABC的两直角边BC=3,AC=4,线段PC平面ABC，且PC=1,则点P到斜边AB的距离. 6.已知ABCD是矩形，AB=6,AD=8,PA平面ABCD，PA=4,点E是PA的中点，求点E到直线BD的距离. 三、提升能力 7.空间四边形ABCD中，ABCD,BCAD,求证：ACBD. 8.已知PA⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O任意一点，过A作AEPC于E，求证：AE平面PBC. 友情提示 易忽视点：应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明.这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知，只有平面内的直线若能满足和斜线或斜线的射影垂直，才能保证和斜线与垂线所在的平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直. 解题规律：利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影”.