51 常微分方程的概念.doc

5.1 常微分方程的概念 课题： 常微分方程的概念 目的要求： 了解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念。 重点： 常微分方程的概念 难点： 列常微分方程 教学方法： 讲练结合 教学时数： 2课时 教学进程： 我们先看下面的两个例子． 例1 已知一曲线通过点（1，3），且在该曲线上任意点M处的切线的斜率为，求这曲线的方程． 解 根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足方程 ． (１) 将方程(1)两边积分，得 ， (２) 其中C是任意常数． 因为曲线通过点，将条件代入（3）式，得．故得所求曲线方程为 ． 　 （３） 例2 一物体以初速垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试确定该物体运动的路程与时间的函数关系． 解 因为物体运动的加速度是路程对时间的二阶导数，且题设只受重力的影响，所以由牛顿第二定律有 即 (４) 其中物体的质量为，重力加速度为，且垂直向上的方向为正方向． 因为物体的运动速度，所以 (４) 式可写为 或 两边积分，得 或 　　　　　 (５) 再对上式积分，得 (６) 其中为任意常数．如果假设物体开始上抛时的路程为，则由题意有，代入（5）、(６)式，得．于是所求的函数关系为 ． 上述两个例子中的方程（1）与（４）都含有未知函数的导数．对于这类方程，给出下面的定义： 定义1 含有未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程．其中未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程．例如方程(1)与(４)都是常微分方程．这里必须指出，在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但未知函数的导数必须出现． 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．例如方程(1)是一阶常微分方程，方程（４）是二阶常微分方程． 如果一个函数代入微分方程后，能使该方程变成恒等式，这样的函数称为微分方程的解．在例1中，函数和的导数都等于，所以它们都是微分方程的解． 如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．例如，函数（2）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（2）是方程（1）的通解．又如，函数（6）是方程（4）的解，它含有两个独立的任意常数，而方程是二阶的，所以函数（6）是方程（4）的通解。 如果通解中的任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解．例如函数（３）是方程（1）的特解．而确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件． 一阶微分方程的初始条件是 ，其中都是定值； 二阶微分方程的初始条件是 其中和都是定值． 验证函数是二阶微分方程 的通解（为任意常数）． 解 因为　　　　　　，， 将及代入方程，得 　 () 所以函数是微分方程的解．因为解中含有两个独立的任意常数，与微分方程的阶数相同，故是微分方程的通解． 小结本讲内容： 强调微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念。 　　　　　　　 作业： P144 1；2；3；4；5。