54 微分方程应用举例.doc

5.4 微分方程应用举例 课题： 微分方程应用举例 目的要求： 会用微分方程知识解决一些简单的实际问题 重点： 用一阶微分方程知识解决一些简单的实际问题 难点： 列微分方程 教学方法： 讲练结合 教学时数： 2课时 教学进程： 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是： (1) 分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件； (2) 求出微分方程的通解； (3) 根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解． 本节将通过一些实例说明微分方程的应用． 例1 设曲线上任一点的切线在第一象限内的线段恰好被切点所平分，已知该曲线通过点，求该曲线的方程． 解 设是曲线上任意一点，由题意，它是切线在第一象限内部分的中点，则切线与轴的交点坐标是，与轴的交点是，所以切线的斜率为．若设曲线方程为，则得微分方程 　　　　　　　　　　　　　　 ＞， 分离变量，解得，代入条件，得，因此，所求曲线的方程为 　　　　 ＞． 例2 已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是℃，空气的温度是℃，经过小时以后，瓶内水温降到℃，求瓶内水温的变化规律． 解 设瓶内水的温度与时间之间的函数关系为，则水的冷却速率为．可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的．由题意，得 　　　　　　　　　， 　　　　　　　　(1) 其中是比例系数(＞)．由于是单调减少的，即 　　　　　　　　　　　　　＜， 所以(1)式右边前面应加“负号”．初始条件为 ． 对(1)式分离变量，得 　　　　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　． 把初始条件代入上式，求得，于是方程(1)的特解为 ． 其中比例系数可用问题所给的另一条件来确定，即　　　 　　　　　， 解得 　　　　　　　． 因此瓶内水温与时间的函数关系为 　　　　　　　． 例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时速度为零。求降落伞下落速度与时间的函数关系。 解 设降落伞下落速度为．降落伞在空中下落时，同时受到重力与阻力的作用(图1)，重力大小为，方向与一致；阻力大小为(为比例系数)，方向与相反，从而降落伞所受外力为 　　　 ． 根据牛顿第二运动定律(其中为加速度)，得函数的微分方程为 　　　　　　． 　　　 (2) 图1由题意，初始条件为． 图1 因为方程(2)是可分离变量的．分离变量后得 　　　　　　 得 ， 　 (3) 这就是方程(2)的通解． 将初始条件代入(3)式，得 　　　　　　　　　　　　　． 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 　　　　　　　　． 　　 (4) 由(4)式可以看出，随着时间的增大，速度逐渐接近于常数，且不会超过， 也就是说，跳伞后开始阶段是加速运动，但以后逐渐接近于等速运动． 例4 设有一个由电阻，电感(自感)，电容和电源串联组成的电路(简称串联电路)，其中为常数，电源电动势是，这里及也是常数(图 2)．求出串联电路中电容上的电压所满足的微分方程． 解 设电路中的电流为， 电容器所带的电量为，自感电动势为． 图 2由电学知道 图 2 ， ， ， 因而在电路中各元件的电压降分别为 (5) 根据回路电压定律，得 ． 将(5)式代入上式，得 　　　　， 即 　　　　　． 　　　 (6) 这就是串联电路中电容上的电压所满足的微分方程． 如果电容经充电后，撤去外接电源(即)，方程(6)成为 　　　　　　　　　． 　(7) 例5 在如图3所示的电路中，先将开关拨向，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向．设开关拨向的时间， 求＞时回路中的电流．已知伏，法拉， 亨利，欧姆；且 ， ． 解 在电路中各元件的电压降分别为 图3 图3 根据回路电压定律，得 　　　　　　　　　 ． 将上述各式代入，得 　　　　　　 　　　． 在上式两边对求导， 因为， 因此得 　　　　　　， 即 　　　　　　 ． 将， ， 代入，得 　　　　　　　 ． (8) 方程(8)的特征方程为 　　　　　　　　　　， 图4特征根为 ， ． 图4 所以方程(8)的通解为 　． 为求得满足初始条件的特解， 求导数得 ． 将初始条件， 代入， 得 解得，．因此得回路电流为 ． 图4为电流的图象．由图象知，当开关拨向后，这回路