d是任意正数.doc

B3-051? 已知a、b、c、d是任意正数，求证： 【题说】1989年四川省赛二试题1． 由平均值不等式， ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （2） ≤2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd+2a2+c2+b2+d2 ＝（a+b+c+d）2???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （3） （2）÷（3）即得结论． B3-052? 已知xi∈R（i=1，2，…，n，n≥2），满足 【题说】1989年全国联赛二试题2． 因为????????????????????????????????? A/n≤a≤A，B≤b≤B/n B3-053? 已知a1，a2，…，an是n个正数，满足a1·a2…an=1，求证 （2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n 【题说】1989年全国联赛一试题3． B3-054? 对于任何实数x1，x2，x3，如果x1+x2+x3=0，那么x1x2+x2x3+x3x1≤0，请证明之． 又对于什么样的n（n≥4），如果x1+x2+…+xn=0，那么x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1≤0？ 【题说】1989年瑞典数学奥林匹克题3． 【证】如果x1+x2+x3=0，则有 当n=4时，若x1+x2+x3+x4=0，则 即n=4时，命题成立． 当n≥5时， 令x1=x2=1，x4=-2，x3=x5=x6=…=xn=0，则 x1+x2+x3+x4+…+xn=0 而?????????????????????????? x1x2+x2x3+x3x4+…+xn-1xn+xnx1=l＞0 所以n≥5时，命题不成立． ? B3-055? 证明：对于任意的x、y、z∈（0，1），不等式x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1成立． 【题说】第十五届（1989年）全俄数学奥林匹克九年级题6． 【证】设f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，它是x的一次函数，因此关于x是单调的．因为 f（0）=y-yz+z=（y-1）（1-z）+1＜1 f（1）=1-yz＜1 所以当x∈（0，1）时，f（x）的最大值小于1，即 x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1 ? B3-056? 证明：若a、b、c为三角形三边的长，且a+b+c=1，则 【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克九年级题2．1990年意大利数学奥林匹克题4． 所以 B3-057? 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，当-1≤x≤1时，有-1≤f（x）≤1 求证：当-2≤x≤2时，有-7≤f（x）≤7． 【题说】1990年南昌市赛二试题1 【证】由已知????????????????? -1≤f（1）=a+b+c≤1?????????????????????????? （1） -1≤f（0）=c≤1?????????????????????????????????? （2） -1≤f（-1）=a-b+c≤1?????????????????????????? （3） （1）+（3）得??????????????????????? -1≤a+c≤1?????????????????????????????????????????? （4） 由（4）、（2）得????????????????????? -2≤a≤2 从而??????????????????????????????????????? |4a±2b+c|=|2（a±b+c）+2a-c| ≤2|a±b+c|+2|a|+|c|≤7 即?????????????????????????????????????????? |f（±2）|≤7 |f（x）|≤7 所以，当|x|≤2时 B3-058? 证明：对于和为1的正数a1，a2，…，an，不等式 成立． 【题说】第二十四届（1990年）全苏数学奥林匹克十年级题2． 当a1=a2=…=an=时，上式取等号． ? B3-059? 设a、b、c、d是满足 ab+bc+cd+da=1 的非负数．试证： 【题说】第三十一届（1990年）IMO预选题88．本题由泰国提供． 【证】设 则由柯西不等式 熟知 所以 ? B3-060? 设a1≤a2≤…≤a7≤a8是8个给定的实数，且 x=（a1+a2+…+a7+a8）/8 【题说】19