§1 复变函数的积分§2 柯西定理及其推广.doc

复变函数的积分 §1. 复变函数的积分 设为复平面上以为起点，而以为终点的光滑曲线（有连续导数），在上取一系列分点把分为段，在每一小段上任取一点作和数, 当，且每一小段的长度趋于零时，若存在，则称沿可积，称为沿的路径积分。为积分路径，记为【若为围线（闭的曲线），则记为】。（在上取值，即在上变化）。 积分的计算 ，，，于是 ， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 复变函数积分的参数表示： 设曲线的参数方程为，或表为，， ，，， 记 ，， 于是，，，，则 。 很重要的常用例子，试证 ，为以为圆心，为半径的圆周。 证：的参数方程为 ， 在上，。 当时， 。 当为的整数时， 。 复变函数积分的简单性质（以下性质i、ii、iii、iv均可从积分的定义式直接得出）： i.，、分别为之终、起点。，为的长度，为的长度。 ⅱ.，、为复常数。（可推广） ⅲ., 其中、连接成。（可推广） ⅳ., 表示与方向相反的同一条曲线。 不等式（估值公式）： a) 证： 。 （此处用了的推广，, ,多边形一边之长其他边长之和） b) 若为沿曲线的最大值，为的长度，则 。 证：， 两边取极限，即。 或 。 §2 . 柯西定理及其推广 柯西定理：若在单连通区域上解析，是内的任一围线，则 。 其实只要在所围单连通区域内解析，则 。 注： 单连通：区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没洞。 复连通：区域内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点，简而言之区域内有洞。 证：由于在上解析， 意味着在上各点均存在。为了证明简单，我们进一步要求在上连续,、、、在上连续。 ，，， 。 由于在上连续，所以、有连续偏导数，且满足C－R条件， ,而由实的线积分的格林定理 ， 为所围单连通区域（C－R条件） ， 为所围单连通区域（C－R条件） 。 注意：柯西定理中只要求在上解析，对在外是否解析没有要求，证明中未用在外的性质。因此只要在所围区域内解析。 推论：若在上解析，、是内有相同端点的任意两条曲线，则。 即在解析的单连通区域内，沿任一曲线的积分，只依赖于的起点和终点，而与的具体形状无关。 证：因为、 的端点相同，所以与组成一围线。由柯西定理：。 柯西定理的复线推广 当在内处处解析，且围线全部在内时，则。但当所围区域内有的奇点时，情形又如何呢？ 前面所讲的柯西定理是对单连通区域中的解析函数而言的，若在所围区域内有奇点，可做一围线将此奇点围住，若将所围的区域挖去，则区域变成复连通区域（如图）。 对于复连通区域，作辅助线、、，使分成两个单连通区域和。的边界为，的边界为，选取如此的方向为路径的正方向，即当沿着路径行进时，区域保持在左边，所以的边界为。 ， 由于在，从而在、，上解析，由柯西定理知 ，， 所以。 而 ， 。 从而。 容易将上述情形推广至内部有个洞的复连通区域，于是 。 上述积分均沿着逆时针方向，所以在复连通情形下，在复连通区域内解析的函数，其沿外边界线逆时针方向的积分等于其沿所有内边界线逆时针方向的积分之和。 例： 计算 ，为不通过点的围线。 解：是的一个奇点，若没有包围点，则在所包围的区域上是解析的。 从而（不包围）。 若包围 【是的奇点】，作以为圆心的圆周包围，则由上述的公式得：。 由前面的例子可得 ， 。 19