《线性代数》第六章习题解答.doc

PAGE PAGE 10 《线性代数》第六章习题解答 2.(1) (2)方法同（1） 4． （1） 得特征值为. 当时,特征向量为, 当时, ，当时, . 由于为不同特征值的特征向量,故正交,只须直接单位化即可,得 即将二次型化为. （2） , 得特征值为. 当时,特征向量为, 当时, ，当时, . 由于为不同特征值的特征向量,故正交,只须直接单位化即可. 将单位化为： , 即将二次型化为。 （3） 得特征值为. 当时, ，行初等变换为阶梯形 ， 首非0元在第1、3列取得，为自由变量， 令 得对应的二个特征向量 当时, ，行初等变换为阶梯形 ， 类似于情形，得对应的二个特征向量. 很明显，两两正交,直接单位化为： 即将二次型化为标准形：。 5． . 用第4题方法求得正交变换为， . 6． 求得 原方程变成是个旋转椭球面. 7．关于用二次型配方法求标准形，课本缺少明确的讲解，现补充一定理： 定理 任意二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形（平方和形式）。 证明 不妨设，否则已经为标准形了，下面对作数学归纳法， 对时，已为平方和， 假设对元的二次型定理成立，现证对元二次型定理也成立， 设， 分二种情况讨论 若含有平方项，即有某个，不妨设， 我们可采用配方法，把含的项集中在一起进行配方， 其中为元的二次型， 令, 即变换 使. 由归纳法假设，对有变换使之等于， 于是二个变换相乘就把变为 根据归纳法，故结论成立。 （2）若不含平方项，但至少有一个，不妨设， 作非退化线性替换 将化为第（1）种情况。 现在，我们用这个定理的方法解答第7题的（4）小题： 把中含的所有项置于前面，再配方， 令，将看成常数，解以为变量的方程组，得 , 即线性变换将二次型化为标准形：。 第（1）、（2）题方法同第（4）题， 第（3）题，先令，化为有平方项的情形，再使用同于（4）题的方法解之。 8.， 令 在下，，因此二次型的正惯性指数为1。 A的所有主子式为正，故A正定。 故A是负定的。 A为正定。 A为负定。 A为正定。 A为负定。 当时A为正定。 当时A为正定，解得。 13．A正定A的正惯性指数为，即A合同于E， 可逆矩阵C， 14．（1）先证明一个命题：若为A的一个非0特征值， 则为的一个特征值。 证：设 有特征值，（特征向量为）. 再证本题：A正定 正定。 设A正定，A的所有特征值为正，， 的所有特征值， 所有特征值为正，正定。 15．证法一：A、B正定，对 故A+B正定。 证法二：A、B正定， 则A和B的主子式 而A+B的阶主子式 A+B为正定。