一次函数解题探究.doc

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一次函数解题探究

一次函数解题探究 一次函数的“最值” 一次函数y=kx+b中,x、y均可取一切实数.如果缩小x的取值范围,则其函数值就会出现最大值或最小值.一次函数的“最值”由一次函数的性质决定,与其k值、自变量的取值范围密切相关: ⑴k>0时,y随x增大而增大.因此,x取最小值时,y有最小值;x取最大值时,y有最大值. ⑵k<0时,y随x增大而减小.因此,x取最小值时,y有最大值;x取最大值时,y有最小值. k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表: x y=kx+b k>0 k<0 x≤m x有最大值,y有最大值 y最大值=km+b x有最大值,y有最小值 y最小值=km+b x≥m x有最小值,y有最小值 y最小值=km+b x有最小值,y有最大值 y最大值=km+b m≤x≤n x=m时(最小),y最小值= km+b; x=n时(最大),y最大值=kn+b x=m时(最小),y最大值= km+b; x=n时(最大),y最小值=kn+b 求一次函数的最大、最小值,一般都是采用“极端值法”.即用自变量的端点值,根据函数增减性,对应求出函数的端点值(最值). 请看以下实例. 例1.已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数取值范围是-11≤y≤9.求此函数的解析式.解析:x的取值范围与函数y的取值范围的对应情况,由k值的符号确定.故应分类讨论. ⑴k>0时,y随x增大而增大.x=-2时,y=-11;x=6时,y=9. ∴ 解得 ∴y=x-1 ⑵k<0时, y随x增大而减小.x=-2时,y=9;x=6时,y=-11. ∴ 解得 ∴y=-x+14 例2.康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台,现在运往甲地18台、乙地14台.从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表; 甲地(元/台)(18) 乙地(元/台)(14) A地(17) 600(x) 500(17-x) B地(15) 400(18-x) 800(x-3) ⑴如果从A地运往甲地x台,求完成以上调运所需总费用y(元)关于x(台)的函数解析式; ⑵若康乐公司请你设计一种最佳调运方案,使总的费用最少,则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用?为什么? 解析:⑴y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300⑵由①x≥0;②17-x≥0;③18-x≥0;④x-3≥0 ∴3≤x≤17∵k=500>0,∴y随x增大而增大,x取最小值时,y有最小值.∴x=3时,y最小值=500×3+13300=14800(元)故该公司完成以上调运方案至少需14800元运费.调运方案为:由A地运往甲地3台,运往乙地14台;由B地运往甲地15台. 一次函数图象平移的探究 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 我们知道,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向上平移).或者说,直线y=kx平移∣b∣个单位长度得到直线y=kx+b (当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).例如,将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1.需要注意的是,函数图象的平移,既可以上下平移,也可以左右平移.这里所说的平移,是指函数图象的上下平移,而非左右平移. 以上平移比较简单,因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移.对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢?让我们一起进行探究: 问题1 已知直线:y=2x-3,将直线向上平移2个单位长度得到直线,求直线的解析式. 分析:根据“两直线平行,对应函数的一次项系数相等”,可设直线的解析式为y=2x+ b,由于直线的解析式中只有一个未知数,因此再需一个条件即可.怎样得到这个条件呢?注意到直线与两条坐标轴分别交于两点,而直线与y轴的交点易求,这样就得到一个条件,于是直线的解析式可求. 解:设直线的解析式为y=2x+b,直线交y轴于点(0,-3),向上平移2个单位长度后变为(0,-1).把(0,-1)坐标代入y=2x+b,得b=-1,从而直线的解析式为y=2x-1. 问题2 已知直线:y=2x-3,将直线向下平移2个单位长度得到直线,求直线的解析式. 答案:直线的解析式为y=2x-5.(解答过程请同学们自己完成) 对比直线和直线直线的解析式可以发现:将直线:y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线的解析式为:y=2x-3+2;将直线:y=2x-3向下平移2

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