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一设,求其付立叶变换。
一 设，求其付立叶变换。
解：＝＝
＝＝
＝
由于作为的函数在整个复平面上解析。且当时 ，它趋于0，帮在以实轴为其一边的矩形上应用柯西定理得：
＝
＝
＝＝
二 将定解问题
的边界条件齐次化。（14分）
解：令，选取，使。
由此可得：
将上式对求积分，即得：
此时，新的未知函数即满足齐次边界条件。
三 求满足
的所有形如的非零特解。
解： 把代入方程，得：
即有：
两边对求导，得：
由此可见（常数）。
于是：。
因此，得：。
由于，故有：。
因，故，由边界条件
可得：。
解特征值问题。
得到及
解常微分方程：。
其特征方程有两个二重根，于是
故所求的全部特解为：
＝。
四 求解电报方程的混合问题：
其中为正数，满足。
解：根据初始条件，采用对变量取拉氏变换的方法。记
，。
在方程两端取拉氏变换，有
解得的通解为
＝。
由有界知：亦有界，因此有＝0，再对边界条件取拉氏变换，有
这样知，由此得到：
＝
利用拉氏变换的延迟性质，得
＝。
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