一道二次函数最值题的易错点简析.doc

学数学，上数学培优网! - PAGE 4 - 一道二次函数最值题的易错点简析 在二次函数学习中，与实际问题联系紧密，其中最值问题又是在解决实际问题中最常见的题型。然而在实际审题的过程中，忽视一些细节的变化，往往会导致整个解题思路走上“歧途”，叫人惋惜。现就我在教学中遇到的一道数学题，学生在解答过程中出现的一些易错点进行简单陈述，供参考。题目如下： 在两根高20米（指电线与电线杆连接处到地面的距离为20米）水平距离100米的电线杆间架设电线，电线悬挂所成的曲线近似地看成与二次函数y=x2的图象相同。规定：在通常情况下电线距地面竖直距离大于16米时视为安全距离。 在水平地面上架设间距为100米的电线是否符合安全标准，试说明理由； 如果将电线架设在坡比为1﹕20的斜坡上，水平距离仍为100米，且保持电线悬挂成的曲线与二次函数y=x2的图象相同时，是否仍然符合安全标准，请用相关数据来作具体说明。 在本题中，首先是根据实际需要建立恰当的直角坐标系，把实际问题转化为数学模型，在这里就不再细说了。 在问题1中我们自然而然地想到抛物线的最低点距地面的距离最近，是否安全就看这点到地面的距离大小了。 建立如图1所示的直角坐标系，由题目已知条件可得：A(0，20)，B（100，20） 设二次函数的解析式为y=x2+bx+20 把B点坐标代入解析式，有20=10+100b+20 b= — ∴二次函数的解析式为：y=x2 —x+20 当x= —=50时，ymin　=＞16， 因此架设的电线是符合安全标准的。 在问题2中，同学们注意到了图象位置的变化，建立如图2所示的直角坐标系： 由已知得=，OD =100 ∴CD =5 有：B(100，25)，C（100，5） 设二次函数解析式为： y=x2+dx+20 把B点坐标代入解析式，有25=10+100d+20 d= — ∴二次函数的解析式为：y=x2 —x+20 学生往往会受第1题影响，将抛物线的最低点到水平地面的距离求出，如图3，得出误论1： 当=25时， ymin　=＞16（即） E(25，) 从而得到架设的电线是安全的。 也有学生细心观察，知道在斜坡上，如图4，有误论2： F在斜坡上，应减去FG的长， 设OC的直线解析式为： 把C点坐标代入解析式，得到： 有 F点的横坐标为25（与E点横坐标相同），有= ∴＞16 有这样的结论：架设的电线是安全的。 从本题的最终结果来看，架设的电线是安全的，但依据的数据是不可靠的。 那么问题出在哪里呢？我们回过头来看题目，就会发现地面由水平变成斜坡的变化中，竖直方向上的距离最近问题在水平位置和倾斜位置时是不一样的。分析如下： 如图5，在水平情况下，我们可以这么看： 把地面所在的直线向上平移，当直线与抛物线相切于点E时，其余的点都在这条直线的上方，于是E点所处的位置就是最低的点，离地面也就最近了。 我们可以从这个角度看问题： 在竖直方向上的直线与抛物线和斜坡所在直线分别相交与H、K， 令H的坐标为（x，y1），K的坐标为 （x，y2），（HK∥Y轴，两点横坐标相同）由所学知识我们得知： 其中H点在抛物线y=x2 —x+20上，有x2 —x+20 K点在直线上，有 于是有等式： HK 由二次函数的性质可得：当时，HKmin . 即HKmin＞16，由此可知在斜坡上架设的电线是安全的。 通过本题的简单叙述，只是想让同学们在日常作业和答题中注重对题目深入细致的研究和推敲，理论联系实际，多动手动脑，“细节决定成败”。 姓名：刘鸿广 男 1969年出生 中学一级教师 联系地址：江苏省兴化市缸顾中心校 邮编：225788 联系电话：0523