三足鼎立--定点与两图形上动点可否形成正三角形的探讨.doc

PAGE 19 - 三足鼎立－－定點與兩圖形上動點可否形成正三角形的探討 壹、摘要 由一道數學習題的啟發，讓我們聯想到由一定點與兩圖形上動點作正三角形的問題，並進而設法用尺規作圖畫出。為了方便問題的解決，不妨就定點與兩圖形的位置關係逐一討論，我們發現了過定點作正三角形的各種可能，其解包括四解、三解、二解、一解或無解。而從這一系列問題所研究出來作正三角形的方法，也正好可以用來解決三角形內接正三角形、三平行線上正三角形、三相交圓上正三角形、三同心圓上正三角形等的作圖問題，真是獲益匪淺。 貳、研究動機 在第五冊數學3-2綜合證題法的習題中，有如下的問題： 如圖，、為兩條登山步道，套色部分為長方形空地；為了旅客休憩的方便，希望在這塊空地上興建涼亭；此涼亭要與、兩道路的垂直距離相等，請你畫出涼亭的大概位置，並說明為什麼？ 由這個問題的啟發，讓我們聯想到另一個問題：如果涼亭已經蓋好了，可否在、兩條登山步道上各找一個地點，使得涼亭與這兩個地點，兩兩距離相等？換句話說，涼亭和這兩個地點可否形成一正三角形？又若將這兩條步道改變相交位置，或者將步道其一或兩者改成圓形，那麼，可否同樣地在兩步道上各找一個地點和涼亭構成一正三角形？我們就在這樣的動機下開始了這次的研究。 參、研究目的 探討定點與兩圖形上動點可否形成正三角形的問題，並研究其可能的狀況及相關的延伸問題。 肆、研究過程 為了探討這一系列問題，我們不妨將問題就定點與兩圖形的位置關係逐一討論如下： 一、兩條登山步道和平行 （一）如圖， 假設涼亭P在兩步道、的內側，求作正三角形PQR，使它的頂點Q、R分別在、上。 【作圖】1.過P作於E，以為邊長，在的一側作正三角形PEF。 2.過F作直線於F，交於Q點，以為半徑，以E為圓心畫圓，交於R和R，連接、、，則△PQR即為所求。 3.在的另一側，同理可以作出△ PQR，也是所求。 【證明】1.在△PER和△PFQ中，∵（△PEF為正三角形），∠PER＝∠PFQ＝90°，，∴△PER△PFQ（SAS）。 2.∵△PER△PFQ，∴， ∠EPR＝∠ FPQ，推得∠EPR－∠FPR＝∠FPQ－∠FPR， 即∠RPQ＝∠EPF＝60°。 3.在△PQR中，∵且 ∠RPQ＝60°，∴△PQR為正三角形。 【討論】正三角形PEF可能在的兩側作出，而的垂線一定和相交，因此本題必有兩解。並且兩側所作出的正三角形正好是以為對稱軸，故必全等。 （二）如圖，假設涼亭P在兩步道、的外側，求作正三角形PQR，使它的頂點Q、R分別在、上。 【作圖】同上題作法。 【證明】1.在△PER和△PFQ中，∵（△PEF為正三角形），∠PER＝∠PFQ＝90°，，∴△PER△PFQ（SAS）。 2.∵△PER△PFQ，∴，∠EPR＝∠FPQ， 推得∠EPR－∠EPQ＝∠FPQ－∠EPQ，即∠RPQ＝∠EPF＝60°。 3.在△PQR中，∵且∠RPQ＝60°，∴△PQR為正三角形。 【討論】同上題討論，本題可作的正三角形必有兩解，且必全等。 二、兩條登山步道和相交 如圖， 假設涼亭P在兩步道、之間，求作正三角形PQR，使它的頂點Q、R分別在、上。 【作圖】同一（一）的作法。 【證明】同一（一）的證明。 【討論】同一（一）的討論，本題可作的正三角形必有兩解，但不全等。 若將登山步道改成圓O，我們可以考慮圓O與的相交狀況如下： 三、兩條登山步道圓O和不相交 （一）如圖，假設涼亭P在步道圓O外且和圓O在同側，求作正三角形PQR，使它的頂點Q、R分別在圓O和上。 【作圖】1.過P作於E，以為邊長，在的一側作正三角形PEF。 2.過F作直線於F，交圓O於Q和Q兩點，以為半徑，以E為圓心畫圓，交於R和R1，連接、、，則△PQR即為所求。 3.同理可以作出△PQR，也是所求。 【證明】1.在△PER和△PFQ中，∵（△PEF為正三角形），∠PER＝∠PFQ＝90°，，∴△PER△PFQ（SAS）。 2.∵△PER△PFQ，∴，∠EPR＝∠FPQ，推得∠EPR＋∠FPR＝∠FPQ＋∠FPR，即∠RPQ＝∠EPF＝60°。 3.在△PQR中，∵且∠RPQ＝60°，∴△PQR為正三角形。 【討論】正三角形PEF可能在的兩側作出，而的垂線和圓O相交狀況可能有不相交、相切和相交兩點三種，因此本題可能有四解、三解、兩解、一解或無解。 （二）如圖，假設涼亭P在步道圓O內，求作正三角形PQR，使它的頂點Q、R分別在圓O和上。 【作圖】同上題作法。 【證明】同上題證明。 【討論】同上題的討論，本題也可能有四解、三解、兩解、一解或無解。 （三）如圖，假設涼亭P在步道圓O外且和圓O在異側，求作正三角形PQR，使它的頂點Q、R分別在圓O和上。 【作圖】同三（一）的作法 【證明】同三（一）的證明。 【討論】同三（一）的討論，本