不等式含有字母系数的不等式的解法.doc

PAGE PAGE 6 ―　― 不等式·含有字母系数的不等式的解法 ? 教学目标 1．初步理解含有字母系数不等式求解的基本思路，并让学生了解使用分类讨论方法的起因． 2．培养学生分析、概括能力及运算能力． 3．提高学生思维的严谨性和深刻性． 教学重点与难点 教学重点：含有字母系数不等式的求解基本模式的形成． 教学难点：分类讨论方法的正确使用． 教学过程设计 （一）引入课题 师：我们已经研究了几类基本不等式的解法，今天研究在系数中含有参变数即含有字母系数的不等式的解法． （板书：含有字母系数的不等式的解法） （二）讲解新课 师：先从一个具体的例子说起． （板书） 例1? 解关于x的不等式． （1）ax＜4． 师：先请同学们来试解一解． 师：下面请同学们讨论一下，以上两位同学做法哪个正确． 生：两种解法都有问题，甲没有讨论是不对的，乙虽然讨论了，但讨论的情况不全，所以都有问题． 师：为什么一定要讨论呢？要讨论又该怎样讨论呢？ 生：因为不知道a的正负，所以除以a后不知道不等号方向是否发生改变，因此需要讨论． 师：如果能把问题说得再透一点儿，从根源上讲，解关于x的不等式即求出x＜（＞）m的一个不等式，因此需对所给不等式进行变换，而变换为保证等价必须依据不等式的性质，就这个不等式而言，应根据不等式哪条性质呢？ 师：由此要解出x就必须看a的符号，对于字母a来说，它的符号有几种可能呢？ 生：有三种可能，大于零，等于零，小于零． 师：此题需对a的符号进行讨论，且应分为三种情况进行讨论，显然解法二的错误在于讨论不全面，经过我们的共同讨论，正确的解法应该有了，找个同学试说一下． 当a=0时，原不等式解为x∈R． 师：对于这种类型不等式有了初步了解，下面请看第（2）小题． （板书）（2）mx＞n． （请学生思考片刻，并提示注意字母n带来的变化） 当m=0时，原不等式的解不确定． 师：不确定是什么意思． 生：解的情况由n来决定，具体说在m=0前提下，原不等式变形为0·x＞n． 当n＞0时，原不等式无解；当n=0时，原不等式无解；当n＜0时，原不等式解为x∈R． 师：对于前半部分的讨论，理由同第（1）题是一样的，把它称为一级讨论，对于后半部分的讨论是在一级讨论某种情况下的讨论，称为二级讨论．讨论的原因是此时不等式需对0和n的大小进行比较，自然需要研究n的符号．即分三种情况进行讨论，下面找一个同学把此题完整地解出来． 等式解为x∈R． 师：形如ax b的不等式是含有字母系数的关于x的不等式的基本模式，解决这类问题分类讨论是不可少的方法，使用这种方法要注意使用的起因，此题使用分类讨论的起因是对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论． 对于含有字母系数的不等式在求解中还会遇到什么样的问题，一起看例2． （板书） 例2? 解关于x的不等式：x2-（a＋a2）x+a3＞0． （给学生片刻思考，稍作研究再让学生说想法） 师：拿到此题有什么想法？ 生：这是一个关于x的一元二次不等式，求解的方法一般是先找到相应的一元二次方程的两个根，再利用二次函数图象找出是两根间还是两根外． 师：相应的方程是x2-（a2＋a）x＋a3=0，它的两个根是什么呢？ 生：是a和a2． 师：可以得到不等式的解吗？ 生：是x＞a2或x＜a． 师：答案有什么问题吗？ 生：有问题，不一定a2比a大，应对a2和a的大小关系进行讨论． 师：这一点是解决这个题目的关键．由于需要对相应方程两根的大小作比较，而需进行分类讨论．具体应怎样讨论． 生：讨论a2和a的大小，可以利用比较法转化为a2与a的差与0的 师：根据刚才的讨论，把题目完整地解出来． 生：解：原不等式（x-a）（x-a2）＞0． 当a＜0或a＞1时，a2＞a，原不等式解集为｛x＜a或x＞a2｝；当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式解集为｛x|x＜a2或x＞a｝． 当a=0或a=1时，a2=a，原不等式解集为｛x|x∈R且x≠a｝． 师：对于这种类型的不等式也常常用到分类讨论这种方法，但是使用的原因与例1是不同的，它是由于对不等式作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．当然这类关于x的不等式的一般情形应是a（x-b）（x-c）＞0．至于它的求解问题，在例2的基础上，让同学们自己课下解决． 以上两个例题都属于含有字母系数的不等式的基本模式，通过它们的求解，主要了解分类讨论的这种方法在求解过程中怎样适时、适当的使用． 对这件事是否理解了，请同学们自己做几个题目． （三）巩固练习 （板书） 练习：解关于x的不等式： （1）a（x-a）（x＋2a）＞0；（2）loga（x2-x-2）＞ （先让全体学生在笔记本上完成，教师巡视待学生基本完成，根据学生完成情况，有针对性选择两名学生，将自己的答案写在黑板上） （板书） （1）解：