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第六章 不等式(一) ●知识网络 ●范题精讲 【例1】 试问:与(a、b＜0)的大小关系，并说明理由. 分析:两个数(或式)进行大小比较时，通常用作差法，它的一般步骤是:(1)作差；(2)变形；(3)定号. 作差的依据是:实数大小顺序与实数运算性质间的关系，即a＞ba－b＞0；a=b a－b=0；a＜ba－b＜0. 变形的方法是:采用配方法、因式分解法将差式化为若干个因式连乘积的形式或完全平方式的和的形式. 定号:由各因式的符号判断差的符号. 解:－ = = =. 由于a＜0,b＜0,∴ab＞0,a+b＜0,a2＞0,b2＞0. ∴a2+b2＞0并且有2ab＞0. 则(a2+b2)(a+b)＜0. 要判断与0的关系，需对a－b与0的关系分类: (1)若0＞a＞b，则a－b＞0，则2ab(a－b)＞0，于是＜0. 此时，＜. (2)若0＞b＞a，则a－b＜0，则2ab(a－b)＜0，于是＞0. 此时，＞. (3)若0＞a=b，则a－b=0,则2ab(a－b)=0,于是 =0. 此时，= . 点评:此题在判断符号时，要分类讨论.分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类，怎样分类.分类时，要做到不重不漏. 【例2】 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=(v0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识,考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解:(1)依题意,y=≤=, 当且仅当v=,即v=40时,上式等号成立. 所以ymax=≈11.1(千辆/小时). (2)由条件得10, 整理得v2－89v+16000, 即(v－25)(v－64)0. 解得25v64. 答:当v=40 km/h时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应大于25 km/h且小于64 km/h. 【例3】 求证:≥(a＞0,b＞0). 思路一:从结论入手，探求、分析上一步成立的充分条件. 证法一:(分析法)要证≥， 只要证a+b≥a+b， 即证+≥(). 需证()(a－+b)≥()， 即a－+b≥， 也就是要证a+b≥2成立.a+b≥2显然成立，∴原不等式成立. 思路二:从条件入手，利用已知不等式，逐次推理. 证法二:(综合法)∵a、b为正实数，∴a+b≥2. 又+≥2, ① +≥2， ② ①+②得+++≥2+2， 即≥成立. 证法三:(作差比较法) ()－() =(－)+(－)=+ = =. ∵a、b为正实数， ∴＞0,＞0,(－)2≥0. 于是有≥0. ∴≥. ●试题详解 高中同步测控优化训练(一) 第六章 不等式(一)(A卷) 说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共30分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.若a、b、c为实数，则下列命题正确的是 A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C.若a＜b＜0，则＜ D.若a＜b＜0，则＞ 解析:A.因为c2≥0,所以只有c≠0时才正确.c=0时，ac2=bc2，所以A是假命题. 变式:若ac2＞bc2,则a＞b，命题是真命题. B.a＜b,a＜0a2＞ab,a＜b,b＜0ab＞b2，B是真命题. C.由性质定理a＜b＜0＞,C是假命题. D.例如－3＜－2＜0,＜,D是假命题. 答案:B 2.若0,则下列不等式:①a+bab；②|a||b|；③ab；④+2.正确的不等式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由0可知ba0,③不正确,②不正确. ∴a+b0,ab0.∴a+bab,①正确. 由0, 0,而a≠b,∴+2,④正确. 答案:B 3.若a＞b＞1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),则 A.R＜P＜Q B.P＜Q＜R C.Q＜P＜R D.P＜R＜Q 分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a＞b＞1lga＞0,lgb＞0. R＞Q＞P. 答案:B 4.角x,y满足－＜x＜y＜,则x－y的取值范围是 A.(－π,0) B.(－π,π) C.(－,0) D.(－,) 分析:本题主要考查负数在不