不等式求最值.doc

不等式求最值 [定理]如果a,b∈R，那么a2+b2 ≥2ab（当且仅当a=b时，取“=” ） [定理]如果a,b是正数，那么 (当且仅当a=b时，取“=”) 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立。 “和定积最大，积定和最小，”即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。 应用此结论求值要注意三个条件： ⑴各项或因式非负； ⑵和或积为定值； 一正二定三相等 ⑶等号能不能取到。 必要时要作适当的变形，以满足上述前提。 例1、若x0，则2 + 3x + EQ \F(4,x) 的最大值是 （ ） (A) 2 + 4 EQ \R(3) (B) 2±4 EQ \R(3) (C) 2－4 EQ \R(3) (D) 以上都不对 例2、已知x，y都是正数，且，求x+y的最小值。 例3、已知ab0，则a2 + EQ \F(16,b(a－b)) 的最小值是_________。 巩固练习 1．设a、b为实数，且a＋b＝3，则的最小值为 （ ） A．6 B． C． D．8 2．若x＞4，则函数 （ ） A．有最大值—6 B．有最小值6 C．有最大值—2 D．有最小值2 3．已知y=f(x)是偶函数，当x0时，f(x)=x+,当x∈［－3,－1］时，记f(x)的最大值为m，最小值为n，则m－n等于 （ ） A.2 B.1 C 4、已知，且，则下列四个数中最小的是 （ ） A、 B、 C、 D、 5、已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值为 （ ） A． B．2 C． D． 6．设实数x, y满足x + y=4, 则的最小值为 （ ） A． B．4 C．2 D．8 7．不等式的最大值是 （ ） A． B． C． D． 8、下列函数中，的最小值是4的是 （ ） A、 B、 C、 D、 9、已知、、则 （ ） A、 B、 C、 D、 10、设均为正数,且、为常数,、为变量.若,则的最大值为 A. B. C. D. 11．已知两个正数x,y满足x＋y=4，则使不等式≥m，恒成立的实数m的取值范围是 . 12．已知b，·b=1则的最小值是 . 13、若直角三角形周长为2，则它的最大面积为 。 14、已知，则 。 15、（本小题满分12分）已知．若、, 试比较与的大小，并加以证明． 16、已知，且，求证： （改为：呢？） 17、（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为（k＞0，k为常数，且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为万元． （1）求k的值，并求出的表达式； （2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 答案：例1、C 例2、 例3、16 练习1、B2、A3、B4、C5、A6、C7、B8、C9、B10、C 11、 12、 13、 14、 15、时，； 时， 16、略 17、解：（1）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8， 所以．　 （2）由 ． 当且仅当，即n＝8时取等号， 所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元