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PAGE PAGE 4 不等式章节内容整理 南洋中学 李瑾 比较两数大小的基本方法 a-b0ab; a-b0ab; a-b=0a=b. 不等式的性质 定理1：abba（对称性）； 定理2：ab,bcac（传递性）； 定理3：aba+cb+c 推论1：a+bcac-b 推论2：ab,cda+cb+d 推论3：ab,cda-cb-d 定理4：ab,c0acbc;ab,c0acbc 推论1：ab0,cd0acbd 推论2：ab,ab0 推论3：ab0,0cd 推论4：ab0anbn(n∈Z,n1) 推论5：若ab0(n∈Z,n1) 推论6：a0,b0,则 均值不等式 a2+b2≥2ab; ; a3+b3+c3≥3abc(a0,b0,c0); (a,b,c同号) （a1,a2,…,an同号） （a1,a2,…,an同号） 以上各式当且仅当各字母都相等时，等号成立。 （10）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 不等式的证明 等价性； 不等式的基本性质； 不等于零的实数的平方必大于零； 几个基本的重要不等式，如 a2+b2≥2ab(a,b∈R,a=b时取等号)； (a,b∈R,且ab0,a=b时取等号)； (a,b∈Cu(R-),a=b时取等号)； 方法：就证明的逻辑思路分为综合法与分析法（或逆证法），就证题所用的技巧方法而言一般有比较法、三角代换法、图像法、放缩法、归纳法等。 比较法：运用证明的a-b0,或当a,b均为正数时运用证明的方法证明ab。 综合法：从已知条件出发，经正确推理逐步导出欲证结论的证明方法。 分析法：由所证命题的结论出发，逐步逆求结论成立的充分条件，直至求出明显成立的不等式为止，这种证明不等式的方法叫做分析法。 数学归纳法（在数列章节中出现）。 放缩法：把不等式的一边逐次放大（缩小）直至使最后结果明显小于或等于（大于或等于）不等式的另一边。 不等式的同解变形 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式； 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，所得的不等式是同解不等式； 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，并且把不等式改变方向后，得到的不等式与原不等式是同解不等式。 不等式和解法（设abc） （一）一元二次不等式 经移项、合并同类项后，只含有一个未知数，且未知数最高次数是二次的整式不等式叫做一元二次不等式。 一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0.式中，a,b,c为实常数，且a0(当a0时，可在不等式两边乘以-1，并改变不等号方向)。 当Δ=b2-4ac0时，对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相异实根x1,x2(设x1x2).此时不等式ax2+bx+c0(ax2+bx+c0)的解为xx1或xx2(x1xx2). 当Δ=b2-4ac=0时，对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等实根 。此时不等式ax2+bx+c0(ax2+bx+c0)的解为的一切实数（无解）。 当Δ=b2-4ac0时,且a0时，不等式ax2+bx+c0(ax2+bx+c0)的解为全体实数（无解）。 （二）高次不等式 高次不等式如（x-a）(x-b)(x-c)0.一般法有画图法或列表法。 （三）分式不等式 分式不等式形如。一般法有画图法或列表法。 （四）绝对值不等式 类型 解法或解集 |f(x)|a a0 f(x)a或f(x)-a a=0 f(x)≠0 a0 x∈R |f(x)|a a0 -af(x)a a≤0 x∈Φ |f(x)|h(x) f(x)h(x)或f(x)-h(x) |f(x)|h(x) -h(x)f(x)h(x) (五)无理不等式 类型 解法或解集 a0 f(x)a2 a=0 f(x)0 a0 f(x)≥0 a0 a≤0 x∈Φ 备注：在实际操作中，高中阶段无理不等式一般通过分析函数图象来完成。 （六）指数和对数不等式 类型 解法 a1 0a1 af(x)ah(x) f(x)h(x) f(x)h(x) logaf(x)logah(x) 备注：该内容在指对数函数章节中再进行详细论述